Kvaterniot: Rotaatiot kolmiulotteisessa avaruudessa

Abstract

Kolmiulotteista geometriaa analysoidaan tyypillisesti vektorilaskennan ja geometrisen analyysin työkalujen avulla. Kvaterniot jätetään usein analyysissä mainitsematta niiden hyödyllisyydestä huolimatta. Tämän opinnäytetyön lähtökohtana on esitellä ja määritellä kvaterniot sekä tarkastella niiden tärkeimpiä ominaisuuksia erityisesti tietokonegrafiikassa.

Yksi tietokonegrafiikan ydinongelmista on kolmiulotteisten kappaleiden pyörittäminen kolmiulotteisessa avaruudessa. Pyörittämistä eli rotaatiota tarvitaan esimerkiksi eri kappaleiden sisäisten koordinaatistojen yhdenmukaistamisessa sekä virtuaalisen kameran orientaation muuttamisessa. Rotaatiot voidaan toteuttaa rotaatiomatriisien avulla, mutta haasteita tuovat sekä gimbal lock -ilmiö että rotaatioiden interpolointi. Gimbal lock syntyy, kun kaksi pyörähdysakselia asettuvat samansuuntaisiksi, jolloin menetetään yksi vapausaste rotaatiosta. Rotaatioiden interpoloinnin tavoitteena on määrittää kahden rotaatioakselin välinen mielekkäästi jatkuva rotaatio.

Kvaterniot ovat kompleksilukujen laajennus neljään ulottuvuuteen, ja niiden avulla pystytään kuvaamaan rotaatioita ilman rotaatiomatriisien haasteita. Tässä opinnäytetyössä kvaternioiden havaittiin olevan laskennallisesti tehokkaampia kuin rotaatiomatriisit, kun suoritettiin useampi peräkkäinen rotaatio. Lisäksi kvaternioiden muistikuormituksen todettiin olevan jopa puolet pienempi verrattuna rotaatiomatriisiin.