Pietarin peli käytännössä

Abstract

Pietarin paradoksi on klassinen todennäköisyyslaskennan ongelma, jossa teorian ja maalaisjärjen välillä on näennäinen ristiriita. Tässä työssä tutkitaan ensisilmäyksellä paradoksiselta vaikuttavaa uhkapeliä käytännönläheisesti sekä pelaajan että pelin tarjoajan näkökulmasta. Tavoitteena on laskea Pietarin pelille reilu panos, joka ei ole ristiriidassa tosielämän havaintojen kanssa.

Ensiksi tutustutaan todennäköisyyslaskennan teoriaan siltä osin, kun se on ongelman kannalta relevanttia. Perusteiden lisäksi kerrataan ehdollinen todennäköisyys, satunnaismuuttujan odotusarvo, momenttiemäfunktio ja keskeinen raja-arvolause. Teoriaosuuden jälkeen esitellään kaksi tapaa, joilla paradoksia on aiemmin yritetty ratkaista ottaen huomioon muutama käytännön kannalta tärkeä asia, jotka osaltaan muuttavat sitä, miten reilu panos lasketaan. Lopuksi verrataan tietokoneella suoritettujen simulaatioiden tuloksia teorian ennustamiin arvoihin. Seitsemän eri lähtöarvoilla suoritetun Pietarin pelin simuloinnit näyttävät, miten pelattujen pelien määrä vaikuttaa reilun panoksen suuruuteen.

Simulointien tulokset tukevat aiempien ratkaisujen ajatusta, jonka mukaan reilu panos Pietarin pelissä riippuu pelaajan käytettävissä olevasta ajasta ja varallisuudesta. Mitä pidempään pelaajalla on aikaa ja rahaa maksaa pelistä, sitä suurempi on todennäköisyys voittaa muutamalla kierroksella niin paljon, että pelaaja jää voitolle, vaikka suurin osa yksittäisistä pelikierroksista olisivatkin tappiollisia. Pelin tarjoajan kannalta keskeiset muuttujat aika ja raha ovat kuitenkin usein erisuuret kuin pelaajalla, mikä johtaa siihen, että tällöin pelaajan kannalta reilu panos ei olekaan reilu pelin tarjoajalle ja päinvastoin. Käytännössä molemmille osapuolille reilu panos saadaan laskettua vain, jos pelille asetetaan maksimivoitto. Mitä halvemmalla peliä halutaan tarjota, sitä pienempi maksimivoiton täytyy olla.