Singulaariarvohajotelma

Abstract

Tutkielmassa esitellään singulaariarvohajotelma ja sen tärkeitä ominaisuuksia. Singulaariarvohajotelman avulla mikä tahansa matriisi voidaan lausua kolmen matriisin tulona. Suurista matriiseista eli suurista taulukoista, joissa alkioina on numeroita, halutaan usein selville merkittävimmät rivit tai sarakkeet, jotka saadaan helposti selville singulaariarvohajotelman avulla. Tämän jälkeen voidaan kyseistä tietoa hyödyntää suoraan tai sen avulla tehdä paras approksimaatio alkuperäisestä matriisista. Hajotelman avulla voidaan myös muodostaa matriisille yleistetty käänteismatriisi. Työssä keskitytään todistamaan singulaariarvohajotelman olemassaolo sekä esitellään lyhyesti muutama hyödyllinen sovellus, joissa singulaariarvohajotelman aiemmin esiteltyjä ominaisuuksia voidaan soveltaa käytännössä. Työssä oletetaan lukijan omaavan perustiedot matriisilaskennasta. Perustietämyksen ulkopuolelta teoriaosuudessa käydään läpi huolellisesti muun muassa hermiittinen matriisi sekä semidefiniittisyys. Teoriaosuudessa selvitetään, kuinka käytännössä singulaariarvohajotelma lasketaan koneella. Työhön sisältyy myös itse toteutettu ohjelma kuvan pakkaamiseksi singulaariarvohajotelman avulla.