Implisiittiset funktiot, käyrät ja pinnat

Abstract

Kandidaatintyön aihe on implisiittiset funktiot, käyrät ja pinnat. Käyrien osalta rajoitutaan tason käyriin ja pintojen osalta kolmiulotteiseen avaruuteen, korkeampia ulottuvuuksia ei käsitellä. Tavoitteena on rakentaa matematiikan peruskurssien työkalujen pohjalta implisiittisiä funktioita koskeva teoria sekä soveltaa sitä implisiittisiin käyriin ja pintoihin sekä esitellä työkaluja näiden piirtämiseen analyyttisesti ja numeerisesti MATLAB-ohjelmiston avulla.

Aineistona käytettiin differentiaali- ja integraalilaskennan ja matemaattisen analyysin perusteoksia Tom M. Apostolilta sekä William F. Trenchiltä. Lisäksi aineistona käytettiin soveltuvilta osin Janne Kauhasen luentomonistetta usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennasta, Risto Silvennoisen Laaja matematiikka 4u -kurssin luentomonistetta sekä implisiittisten pintojen sulauttamista käsittelevää artikkelia, kirjoittajina Loïc Barthe et al.

Työssä rakennetuilla työkaluilla ja menetelmillä implisiittisten funktioiden käsittely onnistui matemaattisesti pätevällä tavalla. Implisiittisten käyrien ja pintojen piirtämiseen saatiin myös esitettyä useita vaihtoehtoisia menetelmiä, analyyttisiä ja numeerisia. Työssä on tarkoituksella runsaasti esimerkkejä tukemassa implisiittisten funktioiden, käyrien ja pintojen teoriaa. Numeerisissa esimerkeissä käytetyt MATLAB-koodit kirjoitettiin ja kommentoitiin niin, että ne ovat selkeästi toistettavissa ja ymmärrettävissä.