Superanalyysiä hyperbolisella konformisella yksikköpallolla
Lahtinen, Joonas (2018)
2018
Teknis-luonnontieteellinen
Teknis-luonnontieteellinen tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2018-04-04
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201803131362
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201803131362
Tiivistelmä
Hyperbolinen konforminen yksikköpallo on pallo, jonka säde on yksi ja pallon sisäpisteiden väliset etäisyydet on määritelty riippuvaksi niiden euklidisesta etäisyydestä pallon keskipisteeseen. Tämä avaruus voidaan onnistuneesti yleistää superavaruuksiin – eli Grassmann algebroihin pohjautuviin vektoriavaruuksiin.
Tämän diplomityön tavoitteena on hyperbolisen konformisen yksikkösäteisen pallon geometristen ominaisuuksien tutkiminen ja kyseiseen avaruuteen määriteltyjen tietynlaisten harmonisten superfunktioiden tarkastelu.
Riemannin geometriaa soveltamalla saadaan selville, että hyperbolinen konforminen yksikköpallo on konformisesti laakea. Superanalyysin näkökulmasta saadaan johdettua esitykset Diracin ja Laplacen operaattoreille Clifford-Weylin algebrassa, joka on superavaruuden esitys geometrisena algebrana. Lopuksi johdetaan esitys Laplacen operaattorille hyperboliseen konformiseen yksikköpalloon ja sopivasti valitun yritteen kautta saadaan Laplacen yhtälöä vastaava differentiaaliyhtälöryhmä, jolla ei ole vastinetta vastaavassa reaalianalyysin ongelmassa. Tälle differentiaaliyhtälöryhmälle löydetään ratkaisuita tapauksissa, joissa yhtälöitä on yksi ja kaksi.
Tämän diplomityön tavoitteena on hyperbolisen konformisen yksikkösäteisen pallon geometristen ominaisuuksien tutkiminen ja kyseiseen avaruuteen määriteltyjen tietynlaisten harmonisten superfunktioiden tarkastelu.
Riemannin geometriaa soveltamalla saadaan selville, että hyperbolinen konforminen yksikköpallo on konformisesti laakea. Superanalyysin näkökulmasta saadaan johdettua esitykset Diracin ja Laplacen operaattoreille Clifford-Weylin algebrassa, joka on superavaruuden esitys geometrisena algebrana. Lopuksi johdetaan esitys Laplacen operaattorille hyperboliseen konformiseen yksikköpalloon ja sopivasti valitun yritteen kautta saadaan Laplacen yhtälöä vastaava differentiaaliyhtälöryhmä, jolla ei ole vastinetta vastaavassa reaalianalyysin ongelmassa. Tälle differentiaaliyhtälöryhmälle löydetään ratkaisuita tapauksissa, joissa yhtälöitä on yksi ja kaksi.