Johdanto kompleksisiin moniarvoisiin funktioihin

Abstract

Moniarvoisella funktiolla tarkoitetaan funktiota, jonka jotakin määrittelyjoukon alkiota vastaa useampi kuin yksi maalijoukon alkio. Voidaan ajatella, että funktio saa tällöin arvokseen maalijoukon alkion sijasta joukon maalijoukon alkioita. Kompleksianalyysissä etenkin monet alkeisfunktioiden käänteisfunktiot ovat moniarvoisia. Tässä työssä perehdytään kompleksianalyysin perustason oppikirjojen tapaan käsitellä moniarvoisia funktioita. Työssä määritellään moniarvoisiin funktioihin liittyvät käsitteet kiertopiste, haara ja leikkauskäyrä sekä havainnollistetaan näitä käsitteitä kompleksisen logaritmifunktion, yleisen potenssifunktion ja arkussinifunktion kautta. Lisäksi työssä perehdytään näiden kolmen esimerkkifunktion avulla siihen, miten moniarvoisia funktioita voidaan käsitellä yksiarvoisina ja analyyttisinä funktioina. Käsittelyn perusperiaate on se, että määrittelyjoukon jokaisella luvulla funktion arvoista valitaan sopivalla tavalla yksi, ja näin saatu yksiarvoinen funktion haara on analyyttinen jossain kompleksitason alueessa.