Hyperreaaliluvut ja epästandardi analyysi

Abstract

Hyperreaalilukujen systeemi on reaalilukujen systeemin laajennus, mikä sisältää äärettömiä ja infinitesimaalisia lukuja. Ääretön luku on itseisarvoltaan suurempi kuin mikään reaaliluku ja infiniteismaaliluku on itseisarvoltaan pienempi kuin mikään positiivinen reaaliluku. Hyperreaaliluvuilla on ollut iso rooli matematiikan historiassa, mutta niille onnistuttiin luomaan täsmällinen pohja vasta 1960-luvulla. Tässä diplomityössä konstruoidaan hyperreaalilukujen systeemi, ja näytetään, kuinka matemaattisia objekteja, kuten lukuja, joukkoja ja relaatioita, voidaan siirtää reaalilukujen struktuurista hyperreaalilukujen struktuuriin. Työssä esitetään siirtoperiaate, jonka avulla voidaan siirtää reaalilukujen struktuurista matemaattisia objekteja käsitteleviä tosia lauseita hyperreaalilukujen struktuuriin vastaavia matemaattisia objekteja käsitteleviksi tosiksi lauseiksi. Lisäksi tutustutaan epästandradiin analyysiin, missä reaalianalyysin peruskäsitteille, kuten jonojen suppenemiselle, joukkojen avoimuudelle, funktioiden jatkuvuudelle ja funktioiden derivaatoille, määritellään perinteisen määritelmän kanssa ekvivalentti epästandardi määritelmä. Näiden uusien määritelmien ja hyperreaalilukujen ominaisuuksien avulla voidaan esitellä ja todistaa reaalianalyysin tuloksia.