Virtausten mallintaminen konformikuvauksen avulla
Koponen, Katri (2015)
2015
Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma
Luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2015-10-07
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201509241610
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201509241610
Tiivistelmä
Tämän diplomityön tarkoituksena on tutkia kompleksifunktioita ja konformikuvauksia sekä niiden soveltuvuutta virtauksien mallintamiseen.
Ensimmäisessä luvussa tarkastellaan aluksi kompleksifunktioita yleisesti ja käydään läpi teoriaa, jota tarvitaan konformikuvausten määrittämiseksi ja ymmärtämiseksi. Teoriassa käydään läpi Cauchy-Riemannin yhtälöitä ja siitä siirrytään edelleen harmonisiin funktioihin, jotka ovat tärkeitä, kun halutaan ymmärtää teoriaa konformikuvausten taustalla. Viimeisenä tarkastellaan analyyttisten funktioiden soveltuvuutta erilaisiin virtaustilanteisiin kuten: horisontaalivirtaus, virtaus 90 asteen sisäkulman ohi ja virtaus sylinterin ohi.
Toisessa luvussa tarkastellaan aluksi joitakin analyyttisten kuvausten perustavanlaatuisia esimerkkejä. Sen jälkeen kerrotaan varsinaisista konformikuvauksista sekä niiden tärkeimmästä ominaisuudesta eli kulmien säilymisestä. Kuvaus on konformikuvaus, jos funktio on analyyttinen ja sen derivaatta on nollasta poikkeava. Tärkein konformikuvauksen sovellus on Joukowskin muunnos, jota tarkastellaan tarkemmin vielä kolmannessa luvussa. Joukowskin muunnoksella saadaan muutettua sylinterin leikkausprofiili lentokoneen siiven leikkausprofiiliksi.
Kolmannessa luvussa on otettu fyysiseksi esimerkiksi lentokoneen siipi ja siihen kohdistuva virtaus, noste ja paine. Lentokoneen siipi ja sen ympärillä olevat virtaukset saadaan muodostettua sylinteristä Joukowskin muunnoksen avulla tietyillä parametrien arvoilla. Kompleksisen integraalin avulla voidaan laskea pyörrekenttä lentokoneen siiven ympärille ja näin edelleen saadaan laskeuttua myös noste, jota ilman lentokoneet eivät lentäisi. Tähän vaikuttaa luonnollisesti myös painejakauma siiven ympärillä, ja sitä tarkastellaan viimeiseksi sylinterin avulla.
Ensimmäisessä luvussa tarkastellaan aluksi kompleksifunktioita yleisesti ja käydään läpi teoriaa, jota tarvitaan konformikuvausten määrittämiseksi ja ymmärtämiseksi. Teoriassa käydään läpi Cauchy-Riemannin yhtälöitä ja siitä siirrytään edelleen harmonisiin funktioihin, jotka ovat tärkeitä, kun halutaan ymmärtää teoriaa konformikuvausten taustalla. Viimeisenä tarkastellaan analyyttisten funktioiden soveltuvuutta erilaisiin virtaustilanteisiin kuten: horisontaalivirtaus, virtaus 90 asteen sisäkulman ohi ja virtaus sylinterin ohi.
Toisessa luvussa tarkastellaan aluksi joitakin analyyttisten kuvausten perustavanlaatuisia esimerkkejä. Sen jälkeen kerrotaan varsinaisista konformikuvauksista sekä niiden tärkeimmästä ominaisuudesta eli kulmien säilymisestä. Kuvaus on konformikuvaus, jos funktio on analyyttinen ja sen derivaatta on nollasta poikkeava. Tärkein konformikuvauksen sovellus on Joukowskin muunnos, jota tarkastellaan tarkemmin vielä kolmannessa luvussa. Joukowskin muunnoksella saadaan muutettua sylinterin leikkausprofiili lentokoneen siiven leikkausprofiiliksi.
Kolmannessa luvussa on otettu fyysiseksi esimerkiksi lentokoneen siipi ja siihen kohdistuva virtaus, noste ja paine. Lentokoneen siipi ja sen ympärillä olevat virtaukset saadaan muodostettua sylinteristä Joukowskin muunnoksen avulla tietyillä parametrien arvoilla. Kompleksisen integraalin avulla voidaan laskea pyörrekenttä lentokoneen siiven ympärille ja näin edelleen saadaan laskeuttua myös noste, jota ilman lentokoneet eivät lentäisi. Tähän vaikuttaa luonnollisesti myös painejakauma siiven ympärillä, ja sitä tarkastellaan viimeiseksi sylinterin avulla.