Symmetria ja liikevakiot Hamiltonin mekaniikassa
Tuohenmaa, Olli (2014)
2014
Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma
Luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2014-12-03
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201412031569
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201412031569
Tiivistelmä
Symplektinen monisto on sileä monisto, jolle on valittu ei-singulaarinen suljettu 2-differentiaalimuoto. Symplektinen muoto määrää kanonisen tavan kuvata sileän funktion differentiaali vektorikentäksi. Tällaisen vektorikentän määräämää dynaamista systeemiä kutsutaan hamiltonilaiseksi systeemiksi ja sen synnyttävää funktiota Hamiltonin funktioksi. Hamiltonin funktio on systeemin liikevakio, eli sen arvo ei muutu systeemin virtauksessa. Lisäksi hamiltonilaisen systeemin virtaus säilyttää symplektisen rakenteen.
Mekaanisen systeemin faasiavaruudella eli systeemin konfiguraatioavaruuden kotangenttikimpulla on kanoninen symplektinen rakenne. Tämä mahdollistaa mekaanisen systeemin määrittelyn hamiltonilaisena systeeminä, kun Hamiltonin funktioksi valitaan systeemin kokonaisenergia.
Hamiltonilaisen systeemin symmetriaryhmä on ryhmä diffeomorfismeja, jotka säilyttävät sekä symplektisen rakenteen että Hamiltonin funktion. Symmetriaryhmä voidaan usein esittää Lien ryhmän toimintana. Tällöin ryhmän Lien algebra kuvautuu symplektisen rakenteen säilyttäviksi vektorikentiksi. Jos moniston symplektinen muoto on eksakti 2-muoto ja sen määräävä 1-muoto on invariantti Lien ryhmän toiminnan suhteen, tämä symmetriaryhmä määrää momenttikuvauksen avulla liikevakion. Esimerkiksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden translaatio- ja rotaatiosymmetrioihin liittyvät liikevakiot ovat liikemäärä ja pyörimismäärä.
Mekaanisen systeemin faasiavaruudella eli systeemin konfiguraatioavaruuden kotangenttikimpulla on kanoninen symplektinen rakenne. Tämä mahdollistaa mekaanisen systeemin määrittelyn hamiltonilaisena systeeminä, kun Hamiltonin funktioksi valitaan systeemin kokonaisenergia.
Hamiltonilaisen systeemin symmetriaryhmä on ryhmä diffeomorfismeja, jotka säilyttävät sekä symplektisen rakenteen että Hamiltonin funktion. Symmetriaryhmä voidaan usein esittää Lien ryhmän toimintana. Tällöin ryhmän Lien algebra kuvautuu symplektisen rakenteen säilyttäviksi vektorikentiksi. Jos moniston symplektinen muoto on eksakti 2-muoto ja sen määräävä 1-muoto on invariantti Lien ryhmän toiminnan suhteen, tämä symmetriaryhmä määrää momenttikuvauksen avulla liikevakion. Esimerkiksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden translaatio- ja rotaatiosymmetrioihin liittyvät liikevakiot ovat liikemäärä ja pyörimismäärä.