Free Boundary Problem for Harmonic Functions
Humaloja, Jukka-Pekka (2014)
Humaloja, Jukka-Pekka
2014
Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma
Luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2014-08-13
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201408191363
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201408191363
Tiivistelmä
In this work we consider three different methods for solving a certain kind of free boundary problem for harmonic functions. The considered methods are the boundary element method, the alternating-field technique and the method of fundamental solutions. The main goal of this work is to find out if any of the above methods are eligible for solving the considered free boundary problem. We will also consider if the methods could be applied to solve similar free boundary problems in three dimensions.
When testing the performance of the different methods it turns out that the boundary element method does not seem suitable for solving the studied free boundary problem, while rather accurate solutions are obtained using the alternating-field technique and the method of fundamental solutions, out of which the former is found out to be the more reliable one. However, the alternating-field technique is restricted for two dimensional problems whereas the method of fundamental solutions could be relatively easily applied to three dimensional problems as well. Thus, out of the three considered methods the method of fundamental solutions should be the subject of further studies when considering thee dimensional free boundary problems. Tässä työssä tarkastellaan kolmea eri menetelmää tietynlaisen vapaan reunan ongelman ratkaisemiseksi. Tarkasteltavat menetelmät ovat reunaelementtimenetelmä, vuorottaiskenttämenetelmä ja fundamentaaliratkaisujen menetelmä. Työn pääasiallinen tavoite on selvittää, voidaanko työssä tarkasteltavaa vapaan reunan ongelmaa harmonisille funktioille ratkaista käyttäen jotakin edellä mainituista menetelmistä. Lisäksi tarkastellaan, voitaisiinko menetelmiä soveltaa vastaavanlaisten kolmiulotteisten vapaan reunan ongelmien ratkaisemiseen.
Menetelmiä testattaessa käy ilmi, että reunaelementtimenetelmä ei vaikuttaisi soveltuvan tarkastellun vapaan reunan ongelman ratkaisemiseen, kun taas vuorottaiskenttämenetelmän ja fundamentaaliratkaisujen menetelmän tuottamat ratkaisut ovat varsin tarkkoja. Kahdesta viimeksi mainitusta menetelmästä vuorottaiskenttämenetelmä todetaan luotettavammaksi. Vuorottaiskenttämenetelmää voidaan kuitenkin käyttää ainoastaan kaksiulotteisten vapaan reunan ongelmien ratkaisemi- seen, kun taas fundamentaaliratkaisujen menetelmä voitaisiin suhteellisen helposti muuntaa kolmiulotteisiin ongelmiin sopivaksi. Täten kaikista kolmesta menetelmästä fundamentaaliratkaisujen menetelmä olisi varteenotettavin vaihtoehto jatkotutkimuksen kohteeksi tarkasteltaessa kolmiulotteisia vapaan reunan ongelmia.
When testing the performance of the different methods it turns out that the boundary element method does not seem suitable for solving the studied free boundary problem, while rather accurate solutions are obtained using the alternating-field technique and the method of fundamental solutions, out of which the former is found out to be the more reliable one. However, the alternating-field technique is restricted for two dimensional problems whereas the method of fundamental solutions could be relatively easily applied to three dimensional problems as well. Thus, out of the three considered methods the method of fundamental solutions should be the subject of further studies when considering thee dimensional free boundary problems.
Menetelmiä testattaessa käy ilmi, että reunaelementtimenetelmä ei vaikuttaisi soveltuvan tarkastellun vapaan reunan ongelman ratkaisemiseen, kun taas vuorottaiskenttämenetelmän ja fundamentaaliratkaisujen menetelmän tuottamat ratkaisut ovat varsin tarkkoja. Kahdesta viimeksi mainitusta menetelmästä vuorottaiskenttämenetelmä todetaan luotettavammaksi. Vuorottaiskenttämenetelmää voidaan kuitenkin käyttää ainoastaan kaksiulotteisten vapaan reunan ongelmien ratkaisemi- seen, kun taas fundamentaaliratkaisujen menetelmä voitaisiin suhteellisen helposti muuntaa kolmiulotteisiin ongelmiin sopivaksi. Täten kaikista kolmesta menetelmästä fundamentaaliratkaisujen menetelmä olisi varteenotettavin vaihtoehto jatkotutkimuksen kohteeksi tarkasteltaessa kolmiulotteisia vapaan reunan ongelmia.