Diffuusiolaskut Lorentz-kaasussa

Abstract

Klassiseen Hamiltonin mekaniikkaan perustuvia biljardijärjestelmiä ja niiden kaoottisuutta on tutkittu varsin paljon. Tässä työssä on keskitytty yhteen biljardijärjestelmien erityistapaukseen, niin sanottuun Lorentz-kaasuun, jossa hiukkanen kimpoilee jaksolliseen kolmiohilaan asetettujen ympyräkiekkojen välillä kahdessa ulottuvuudessa. Lorentz-kaasu on tyyppiesimerkki jaksollisesta kaoottisesta biljardista, jota on tutkittu runsaasti matemaattisessa fysiikassa ja jolle on viime vuosina löytynyt käytännön ilmentymiä grafeenisovelluksissa. Tässä työssä käytettiin uusia ja tehokkaita numeerisia menetelmiä erilaisten Lorentz-kaasujen tutkimukseen, erityisesti diffuusiokerrointen tarkkaan määrittämiseen. Tutkimuksessa keskityttiin aluksi perinteisten kovareunaisten ympyräkiekkojen tapaukseen ja sitten yleisempään -- ja fysikaalisesti realistisempaan -- pehmeiden potentiaalien muodostamaan Lorentz-kaasuun, josta ei ole aiempaa tutkimusta. Tutkimuksessa diffuusiovakioiden määrittämiseen käytettiin tutkija Janne Solanpään kehittämää bill2d-ohjelmaa. Tämä laskentakoodi on joustava ja laajennettava, ja se käyttää aiemmin molekyylidynamiikan simuloinnissa sovellettuja menetelmiä. Koodi on myös yleispätevä, sillä sitä voi käyttää useimpien biljardijärjestelmien, kuten periodisten järjestelmien, simulointiin erilaisilla hiukkasten välisillä vuorovaikutuksilla. Tässä työssä sitä siis sovellettiin pehmeä- ja kovareunaisen kolmiohilarakenteisen Lorentz-kaasun diffuusivakioiden määrittämiseen eri parametreilla. Kovareunaisen Lorentz-kaasun diffuusiovakioita määritettiin kaasun sirottajien välimatkan funktiona. Tuloksia verrattiin kirjallisuuteen ja saatiin varsin yhteneviä tuloksia, mikä osoitti koodin toimivuuden. Systeemistä piirretty törmäyskartta osoitti systeemin olevan näin täysin kaoottinen. Hiukkasen lentoradoista piirrettiin havainnollistavia kuvia. Pehmeäreunaisen Lorentz-kaasun diffuusiovakioita laskettiin usean eri parametrin suhteen. Aluksi sitä määritettiin sirottajien eli Fermi-napojen välimatkan funktiona kuten kovan Lorentz-kaasun tapauksessakin. Mitä pehmeämmät reunat sirottajilla oli sitä pienempiä diffuusiokertoimet olivat. Näytti myös siltä, että datapisteiden vaihtelu lisääntyi pehmeyden myötä. Kun diffuusiokertoimia määritettiin energian funktiona huomattiin, että diffuusiokerroin kasvoi lähes eksponentaalisesti energian kasvaessa. Saaduissa tuloksissa nähtiin myös mielenkiintoisia piikkejä tietyillä energian arvoilla. Kun vastaavilla arvoilla piirrettiin hiukkasen lentoratoja, huomattiin kvasiperiodista liikettä, mikä osaltaan selitti epäjatkuvuuksia diffuusiokertoimessa. Diffuusiokertoimia laskettiin myös Fermi-napojen terävyyden ja säteen funktiona. Systeemeistä piirrettiin myös törmäyskarttoja, jotka tietyillä energian arvoilla viittasi siihen ettei systeemi olisi täysin kaoottinen. Lisätutkimusta kuitenkin tarvitaan tämän ns. heikon kaaoksen rajan tarkemmaksi selvittämiseksi.