Euklidisen avaruuden R^n konforminen malli ja sen Möbius-kuvaukset
Riihimäki, Henri (2012)
Riihimäki, Henri
2012
Sähkötekniikan koulutusohjelma
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2012-11-07
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201211121338
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tty-201211121338
Tiivistelmä
Avaruus on matematiikan perustavimpia käsitteitä. Yksinkertaisimmillaan avaruus on joukko, jonka alkioilla ei ole muuta ominaisuutta kuin kuuluminen joukkoon. Joukon ja sen alkioiden hedelmällinen tutkiminen vaatii kuitenkin lisärakenteiden muodostamista joukkoon. Tämä vaatimus korostuu erityisesti, kun avaruutta käytetään mallintamaan fysikaalista todellisuutta. Tässä työssä mallinnamme yhtä matemaattista struktuuria toisella matemaattisella rakenteella. Malliesimerkin tästä tarjoaa tason R^2 vektoreiden mallintaminen kompleksilukujen avulla. Tällöin kompleksialgebra laajentaa vektoreiden laskennallista käsittelyä. Tässä työssä tutkimme euklidisen avaruuden R^n konformista mallia, jossa pohjana oleva perusavaruus mallinnetaan (n+2)-ulotteisessa avaruudessa R^n+2. Konformisessa mallissa sisätulolla on mielekäs geometrinen tulkinta ja erilaisille geometrisille konstruktioille saadaan esitykset duaalivektoreiden avulla. Laskennallisena työkaluna käytämme Cliffordin geometrista algebraa.
Työn toisena osuutena on tutkia kompleksianalyysistä tuttuja Möbius-kuvauksia konformisessa mallissa. Tällöin kaikki Möbius-kuvaukset esitetään Cliffordin algebran peilauksina ja rotaatioina. Nämä ovat algebran ortogonaalikuvauksia, jotka voidaan esittää hyvin tehokkaasti. Konforminen malli siis homogenisoi Möbius-kuvausten esityksiä. Perinteisesti Möbius-kuvaukset voidaan ajatella geometrisesti peilauksina erilaisten geometristen kontruktioiden suhteen. Esimerkiksi inversio vastaa peilausta ympyrän suhteen. Koska konformisessa mallissa geometriset konstruktiot voidaan esittää duaalisten vektoreiden avulla, Cliffordin algebra ja konforminen malli yhdessä tuovat Möbius-kuvausten esityksiin mukaan niiden taustalla olevat geometriset ideat.
Työn toisena osuutena on tutkia kompleksianalyysistä tuttuja Möbius-kuvauksia konformisessa mallissa. Tällöin kaikki Möbius-kuvaukset esitetään Cliffordin algebran peilauksina ja rotaatioina. Nämä ovat algebran ortogonaalikuvauksia, jotka voidaan esittää hyvin tehokkaasti. Konforminen malli siis homogenisoi Möbius-kuvausten esityksiä. Perinteisesti Möbius-kuvaukset voidaan ajatella geometrisesti peilauksina erilaisten geometristen kontruktioiden suhteen. Esimerkiksi inversio vastaa peilausta ympyrän suhteen. Koska konformisessa mallissa geometriset konstruktiot voidaan esittää duaalisten vektoreiden avulla, Cliffordin algebra ja konforminen malli yhdessä tuovat Möbius-kuvausten esityksiin mukaan niiden taustalla olevat geometriset ideat.