Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia
Kumpulainen, Lauri (2016)
2016
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2016-10-19
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201610282473
http://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201610282473
Tiivistelmä
Tutkielman aiheena on variaatiolaskenta, jossa tarkastellaan funktionaalien ääriarvoja. Variaatiolaskentaa tarkastellaan funktionaalianalyysin näkökulmasta ja aiheeseen syvennytään tunnettujen variaatio-ongelmien kautta joista tunnetuin lienee Brachistochrone, josta variaatiolaskennan katsotaan saaneen alkunsa.
Tutkielmassa esitellään variaatiolaskennan peruslauseista useampi versio, tutustutaan hyvin syvällisesti Eulerin yhtälöön, kuten myös Eulerin yhtälön invarianssiin. Osansa tutkielmasta saavat myös funktionaalin differentiaali eli variaatio ja variaationaalinen derivaatta. Lisäksi tutkielmassa tarkastellaan yksinkertaisinta variaatio-ongelmaa.
Sovelluksina esitetään ratkaisut valon kululle epähomogeenisessa aineessa ja geodeesille sylinterin pinnalla.
Tutkielmassa esitellään variaatiolaskennan peruslauseista useampi versio, tutustutaan hyvin syvällisesti Eulerin yhtälöön, kuten myös Eulerin yhtälön invarianssiin. Osansa tutkielmasta saavat myös funktionaalin differentiaali eli variaatio ja variaationaalinen derivaatta. Lisäksi tutkielmassa tarkastellaan yksinkertaisinta variaatio-ongelmaa.
Sovelluksina esitetään ratkaisut valon kululle epähomogeenisessa aineessa ja geodeesille sylinterin pinnalla.