Layered tropical commutative algebra

Abstract

Trooppisissa puolirenkaissa käytettävä max-plus-algebra tekee kaikista puolirenkaan alkioista idempotentteja (yhteenlaskun suhteen). Tämän ilmiön estämiseksi Izhakian ja muut ovat esitelleet kerrostetun trooppisen matematiikan [15], missä puolirenkaan alkiot on jaoteltu (erillisiin) kerroksiin siten, että summa kuuluu eri kerrokseen kuin summattavat.

Työn tarkoituksena on löytää trooppisia vastineita joillekin kommutatiivisen algebran käsitteille. Eräs keskeinen käsite kommutatiivisessa algebrassa on renkaan ideaali, mutta koska puolirenkaassa ei välttämättä ole yhteenlaskun vasta-alkioita, ideaalien sijasta on keskitytty kongruensseihin. Muita keskeisiä käsitteitä kommutatiivisessa algebrassa (kuten myös algebrallisessa geometriassa) ovat algebralliset joukot ja varistot. Kun ideaalit korvataan kongruensseilla, voidaan puhua kongruenssivaristoista. Ne koostuvat sellaisista pisteistä, joissa tiettyjen polynomiparien arvot ovat samat.

Tavanomaisessa kommutatiivisessa algebrassa varistot ja algebralliset joukot ovat (suunnilleen) sama asia. Tässä työssä on onnistuttu todistamaan vastaava yhteys trooppisten algebrallisten joukkojen ja kongruenssivaristojen välillä. Jokainen algebrallinen joukko voidaan esittää kongruenssivaristona, ja sama pätee myös toisin päin. Tämä on uusi tulos trooppisessa matematiikassa. Tuloksen saavuttamiseksi tarvitaan Izhakianin ja muiden esittämää kerrostettua trooppista algebraa rykelmäjuurineen [15] sekä Bertramin ja Eastonin esittämää kierrettyä tuloa [1].

Algebrallisten joukkojen ja kongruenssivaristojen välisen yhteyden löytyminen edellytti myös joidenkin algebrallisesta geometriasta tuttujen tulosten todistamista trooppisessa algebrassa sekä trooppisiin alueisiin liittyvän uuden teorian kehittämistä. Trooppinen alue koostuu pisteistä, missä polynomin arvo määräytyy yhden monomin perusteella, eli yhden monomin arvo on aidosti suurempi kuin muiden monomien.