Äärellisten ryhmien hajotelmat suoriksi tuloiksi

Abstract

Tämän tutkielman päälauseessa todistetaan Krullin, Remakin ja Schmidtin lauseen erityistapaus. Tapauksessa rajoitutaan tarkastelemaan äärellisiä ryhmiä, joiden keskus on triviaali. Tulos esittää, että epätriviaalille äärelliselle ryhmälle, jonka keskus on triviaali, on olemassa tekijöiden järjestystä vaille yksikäsitteinen hajotelma epätriviaalien hajoamattomien normaalien aliryhmiensä suoraksi tuloksi. Luvussa kaksi esitetään kertausluontoisesti ja tiiviisti ryhmäteoriaa ja esitellään Oomega-ryhmät, jotka helpottavat luvun viisi käsittelyä. Luvussa kolme perehdytään ryhmien suoriin tuloihin ja esitellään tutkielmassa oleellisesti käytettävä samaistus sisäisen ja ulkoisen suoran tulon välillä. Luvussa neljä keskitytään keskuksen käsitteeseen. Viimeisen luvun aluksi esitetään tarvittavia määritelmiä ja aputuloksia, joita tarvitaan luvun päättävän päälauseen todistuksessa. Tutkielman päälähteenä on käytetty John S. Rosen teosta A Course on Group Theory.