Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Abstract

Tässä tutkielmassa on käsitelty rationaaliluvun desimaaliesitystä algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta. Rationaaliluvun desimaaliesitys voi olla joko päättyvä tai jaksollinen. Mikäli desimaaliesitys ei ole päättyvä eikä jaksollinen, kyseessä ei ole rationaaliluku. Jaksollisen desimaaliesityksen jakso voi alkaa heti desimaalipilkun jälkeen tai desimaaliesityksessä voi olla esijakso. Rationaaliluvun desimaaliesitys määräytyy supistetussa muodossa olevan rationaaliluvun nimittäjän ominaisuuksien perusteella. Mikäli rationaaliluvun nimittäjän alkutekijähajotelmassa on ainoastaan kantaluvun 10 tekijöitä, on rationaaliluvun desimaaliesitys päättyvä. Mikäli rationaaliluvun osoittaja ja nimittäjä ovat keskenään jaottomia eikä nimittäjän alkutekijähajotelmassa ole kantaluvun 10 tekijöitä, on rationaaliluvun desimaaliesitys jaksollinen, ja jakso alkaa heti desimaalipilkun jälkeen. Rationaaliluvun desimaaliesitykseen sisältyy esijakso, mikäli rationaaliluvun nimittäjän alkutekijähajotelmassa on kantaluvun 10 tekijöiden lisäksi myös muita tekijöitä. Tässä tutkielmassa on myös tarkasteltu rationaaliluvun jakokulmalaskun jakojäännöksiä tapauksessa, jossa rationaaliluvun osoittaja on 1. Jakojäännösten muodostama jäännösluokkien joukko modulo b modulaarisen kertolaskun suhteen on alkuluokkien ryhmän modulo b aliryhmä, missä b on rationaaliluvun nimittäjä. Tapausta, jossa rationaaliluvun osoittaja on erisuuri kuin 1, on käsitelty tässä tutkielmassa einoastaan esimerkin avulla.