Vektoridifferentiaalilaskennan sovelluksia luonnonilmiöissä
Mylläri, Riina (2016)
2016
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2016-06-01
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201606031789
http://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201606031789
Tiivistelmä
Tämä tutkielma käsittelee vektoridifferentiaalilaskennan sovelluksia kahdessa erilaisessa luonnonilmiössä. Tarkasteltavat luonnonilmiöt ovat coriolisvaikutus ilmakehän liikkeisiin sekä sekä Keplerin lait. Valmistelevina tarkasteluina tutkielmassa perehdytään yhden muuttujan vektorifunktioiden, napakoordinaatiston sekä ellipsin teoriaan. Tarkasteluissa esitellään vektorifunktioiden käytännöllisyyttä fysikaalisten suureiden kuvaajina, pohditaan edellisten vektorisuureiden olemusta napakoordinaatistossa sekä johdetaan yhteys napakoordinaatistossa esitetyn ellipsin ja karteesisen koordinaatiston ellipsin kuvaajien välille.
Näillä tiedoilla varustautuneena on mukavampi lähteä käsittelemään itse tutkielman pääaihetta eli vektoridifferentiaalien sovelluksia luonnonilmiöihin. Tarkastelu aloitetaan mallintamalla maapallon pyörimisestä aiheutuvia näennäisvoimia kahden erillisen kantavektorijärjestelmän avulla. Huomataan, että maapallon pyörimisliikkeestä aiheutuvat näennäisvoimat ovat suurelta osin syyllisiä vallitseviin ilmasto-oloihin maapallon pinnalla.
Toisena sovellusalueena käsitellään Keplerin lakeja, joista ensimmäisenä johdetaan Keplerin toinen; pintanopeutta käsittelevä laki. Tämä tehdään poikkeuksellisesti, varsin matemaattisesti, hyödyntäen Newtonin kuuluisaa toista lakia, planeetan paikkaa ja nopeutta kuvaavien vektorifunktioiden ominaisuuksia sekä lähes nerokkaita akselivalintoja. Tulos viimeistellään vielä pinta-alaintegraalin ja differentiaaliyhtälön avulla. Toisen lain jälkeen johdetaan Keplerin ensimmäinen ja ehkä kuuluisin laki planeettojen kiertoratojen ellipsiluonteesta. Tästä suoriudutaan hyödyntämällä Newtonin painovoimalakia, integroimalla planeetan kiihtyvyyslauseke sekä jälleen tekemällä muutama nerokas akselistovalinta. Keplerin kolmas, kiertoaikoihin liittyvä laki johdetaan lopuksi vaivattomasti ensimmäisen ja toisen lain perusteella.
Näillä tiedoilla varustautuneena on mukavampi lähteä käsittelemään itse tutkielman pääaihetta eli vektoridifferentiaalien sovelluksia luonnonilmiöihin. Tarkastelu aloitetaan mallintamalla maapallon pyörimisestä aiheutuvia näennäisvoimia kahden erillisen kantavektorijärjestelmän avulla. Huomataan, että maapallon pyörimisliikkeestä aiheutuvat näennäisvoimat ovat suurelta osin syyllisiä vallitseviin ilmasto-oloihin maapallon pinnalla.
Toisena sovellusalueena käsitellään Keplerin lakeja, joista ensimmäisenä johdetaan Keplerin toinen; pintanopeutta käsittelevä laki. Tämä tehdään poikkeuksellisesti, varsin matemaattisesti, hyödyntäen Newtonin kuuluisaa toista lakia, planeetan paikkaa ja nopeutta kuvaavien vektorifunktioiden ominaisuuksia sekä lähes nerokkaita akselivalintoja. Tulos viimeistellään vielä pinta-alaintegraalin ja differentiaaliyhtälön avulla. Toisen lain jälkeen johdetaan Keplerin ensimmäinen ja ehkä kuuluisin laki planeettojen kiertoratojen ellipsiluonteesta. Tästä suoriudutaan hyödyntämällä Newtonin painovoimalakia, integroimalla planeetan kiihtyvyyslauseke sekä jälleen tekemällä muutama nerokas akselistovalinta. Keplerin kolmas, kiertoaikoihin liittyvä laki johdetaan lopuksi vaivattomasti ensimmäisen ja toisen lain perusteella.