Lämpöyhtälö ja sen ratkaisut

Abstract

Tutkielman tavoitteena on esittää tiivis ja selkeä materiaali, joka voisi toimia yhtenä tiedonlähteenä kaikille osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriasta (erityisesti lämpöyhtälön teoriasta) kiinnostuneille: yliopistojen ja korkeakoulujen opiskelijoille, jotka tavoittelevat perehtymistä osittaisdifferentiaaliyhtälöihin ja niiden sovelluksiin, ja opettajille, jotka antavat vastaavien teemojen opetusta ja suunnittelevat tuntien kulkua.

Tärkeimpinä osittaisdifferentiaaliyhtälöinä pidetään Laplacen yhtälöä, lämpöyhtälöä ja aaltoyhtälöä. Tutkielma käsittelee yhtä tärkeimmistä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä - lämpöyhtälöä. Lämpöyhtälöä käytetään laajalti fysiikan, biologian, geologian ja jopa yhteiskuntatieteiden sovelluksissa. Tämä tarkoittaa, että tarve ratkaista lämpöyhtälöä voi esiintyä hyvin erilaisilla sovellusalueilla, jopa matematiikasta kaukana olevilla. Tämän ilmiön yleisen kuvan ja yhtälön ratkaisulogiikan syvä ymmärrys voi huomattavasti helpottaa erilaisten ongelmien ratkaisuprosesseja.

Tutkielmassa johdetaan 1-ulotteisia ja moniulotteisia lämpöyhtälöitä ja esitellään tapoja ratkaista niitä.

Tutkielman lukijalta oletetaan differentiaaliyhtälöiden teorian, differentiaali- ja integraalilaskennan tuntemista ja muutenkin riittävää matemaattista kypsyyttä, joka auttaa seuraamaan tutkielman kulkua.