Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Abstract

Tutkielman aiheena ovat kvasiryhmiksi kutsutut algebralliset struktuurit. Lisäksi tutkielmassa esitellään kvasiryhmien sovelluksina latinalaiset neliöt sekä eräs kvasiryhmiä käyttävä salausalgoritmi. Kvasiryhmät ovat sellaisia struktuureja (Q, *), joissa silloin, kun joukon Q alkioille pätee, että x * y = z ja että alkioista kaksi tiedetään, niin kolmas pystytään päättelemään yksikäsitteisesti. Tutkielman luvussa 2 esitellään kvasiryhmien teoriaa. Luvussa määritellään kvasiryhmille vasemman- ja oikeanpuoleiset jakolaskut, joiden avulla voidaan esittää kvasiryhmille uusi karakterisointi. Lisäksi esitetään lause, jota kutsutaan alikvasiryhmätestiksi, jonka avulla pystytään selvittämään, muodostaako joukon osajoukko myös kvasiryhmän niissä määritellyllä laskutoimituksella. Luvussa määritellään myös kvasiryhmille homomorfiat ja isomorfiat sekä erityisesti homotopiat ja isotopiat. Tutkielmassa osoitetaan, että kvasiryhmäisotopia on ekvivalenssirelaatio. Lisäksi isotopioista erikoistapauksena määritellään myös pääisotopia, jossa kolmas isotopian komponenteista on identiteettikuvaus. Luvun lopuksi esitellään luupit, jotka ovat sellaisia kvasiryhmiä, joilla on neutraalialkio. Latinalaisten neliöiden määritelmän lisäksi tutkielman luvussa 3 esitetään muutamia merkittäviä lauseita, jotka yhdistävät kvasiryhmiä ja latinalaisia neliöitä sekä lisäksi siinä esitetään kvasiryhmien kertotauluesitys. Luvun lopuksi osoitetaan, että on olemassa kvasiryhmiä, jotka eivät ole isomorfisia ryhmien kanssa, mistä syystä kvasiryhmien tarkastelu ryhmistä erillisinä algebrallisina struktuureina on mielekästä. Tutkielman lopuksi luvussa 4 luodaan lyhyt katsaus kryptografian teoriaan ja esitellään sekä arvioidaan symmetristä jonosalausalgoritmia, joka käyttää salauksessa apunaan kvasiryhmiä.