Metristyvät topologiset avaruudet
Ojanperä, Arttu (2016)
2016
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2016-03-04
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201603111314
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201603111314
Tiivistelmä
Topologiassa joukon X metriikka d on kuvaus tulojoukosta X × X reaalilukujen joukolle, joka toteuttaa seuraavat ehdot kaikille pisteille x, y, z € X:
1. d(x, y) = d(y, x),
2. d(x, y) = 0 ↔ x = y ja
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Jokainen joukon X metriikka indusoi X:lle jonkin topologian. Topologinen avaruus X on metristyvä siinä tapauksessa, että on olemassa jokin metriikka joka indusoi sen topologian.
Topologiset avaruudet voidaan jakaa eri luokkiin niiden numeroituvuusominaisuuksien mukaan. Topologisella avaruudella voi olla esimerkiksi N1-ominaisuus, jolloin jokaisella sen pisteellä on numeroituva ympäristökanta. N2-avaruuksilla on numeroituva kanta. Jokainen N2 avaruus on myös N1.
Topologiset avaruudet voidaan jakaa luokkiin myös erotteluominaisuuksien perusteella. Erotteluaksioomilla määritellään mm. Hausdorffin avaruudet, säännölliset avaruudet ja normaalit avaruudet. Hausorffin avaruudessa jokainen erillinen pistepari voidaan erottaa erillisillä ympäristöillä. Säännöllisissä tämä ominaisuus laajennetaan koskemaan pisteen ja suljetun joukon
pareja. Normaaleissa avaruuksissa jokaisella suljettujen joukkojen parilla on erilliset ympäristöt.
Voidaan todistaa, että jokainen säännöllinen topologinen avaruus, jolla on numeroituva kanta, on metristyvä. Tätä tulosta kutsutaan Urysohnin metristyslauseeksi. Se ei kuitenkaan tarjoa välttämätöntä ehtoa metristyvyydelle.
Toisaalta voidaan osoittaa, että avaruus X on metristyvä jos ja vain jos se on säännöllinen ja lisäksi sen kanta on numeroituva yhdiste lokaalisti äärellisistä joukoista, eli jokaisella X:n pisteellä on ympäristö, joka leikkaa vain äärellisen monta kannan.
1. d(x, y) = d(y, x),
2. d(x, y) = 0 ↔ x = y ja
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Jokainen joukon X metriikka indusoi X:lle jonkin topologian. Topologinen avaruus X on metristyvä siinä tapauksessa, että on olemassa jokin metriikka joka indusoi sen topologian.
Topologiset avaruudet voidaan jakaa eri luokkiin niiden numeroituvuusominaisuuksien mukaan. Topologisella avaruudella voi olla esimerkiksi N1-ominaisuus, jolloin jokaisella sen pisteellä on numeroituva ympäristökanta. N2-avaruuksilla on numeroituva kanta. Jokainen N2 avaruus on myös N1.
Topologiset avaruudet voidaan jakaa luokkiin myös erotteluominaisuuksien perusteella. Erotteluaksioomilla määritellään mm. Hausdorffin avaruudet, säännölliset avaruudet ja normaalit avaruudet. Hausorffin avaruudessa jokainen erillinen pistepari voidaan erottaa erillisillä ympäristöillä. Säännöllisissä tämä ominaisuus laajennetaan koskemaan pisteen ja suljetun joukon
pareja. Normaaleissa avaruuksissa jokaisella suljettujen joukkojen parilla on erilliset ympäristöt.
Voidaan todistaa, että jokainen säännöllinen topologinen avaruus, jolla on numeroituva kanta, on metristyvä. Tätä tulosta kutsutaan Urysohnin metristyslauseeksi. Se ei kuitenkaan tarjoa välttämätöntä ehtoa metristyvyydelle.
Toisaalta voidaan osoittaa, että avaruus X on metristyvä jos ja vain jos se on säännöllinen ja lisäksi sen kanta on numeroituva yhdiste lokaalisti äärellisistä joukoista, eli jokaisella X:n pisteellä on ympäristö, joka leikkaa vain äärellisen monta kannan.