Ortogonaalisuudesta
Jaakkola, Simo (2015)
2015
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2015-12-11
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201512292560
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201512292560
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tarkastelemme ortogonaalisuutta ja sen sovelluksia. Yleisesti ortogonaalisuudella tarkoitetaan kohtisuoruutta. Pyrimme havainnollistamaan ortogonaalisuutta ja sen sovelluksia kuvien ja esimerkkien avulla.
Aloitamme tarkastelun ortogonaalisuuden määritelmästä avaruudessa Rn. Tutustumme tutkielman alussa myös ortogonaalisiin joukkoihin, kantoihin ja projektioihin. Projektioita havainnollistamme kuvien avulla. Esittelemme myös ortogonaalisen lemman ja Gram-Schmidtin ortogonalisointi algoritmin.
Ortogonaalisuuden määritelmästä siirrymme sen sovelluksiin. Tässä tutkielmassa esittelemme ortogonaalisen diagonalisoinnin ja määrittelemme positiivisesti definiitin matriisin. Näihin perehdymme useiden esimerkkien avulla. Positiiviesti definiittien matriisien yhteydessä esittelemme Choleskyn hajotelman ja sen algoritmin. Lopuksi tutkimme neliömuotojen sovelluksia ja havainnollistamme niitä kuvien avulla.
Lukijalta vaadimme lineaarialgebran perusteiden tuntemista. Lähdeteoksina käytämme Keith Nicholsonin kirjaa Linear Algebra with Applications ja David C. Layn kirjaa Linear Algebra and Its Applications.
Aloitamme tarkastelun ortogonaalisuuden määritelmästä avaruudessa Rn. Tutustumme tutkielman alussa myös ortogonaalisiin joukkoihin, kantoihin ja projektioihin. Projektioita havainnollistamme kuvien avulla. Esittelemme myös ortogonaalisen lemman ja Gram-Schmidtin ortogonalisointi algoritmin.
Ortogonaalisuuden määritelmästä siirrymme sen sovelluksiin. Tässä tutkielmassa esittelemme ortogonaalisen diagonalisoinnin ja määrittelemme positiivisesti definiitin matriisin. Näihin perehdymme useiden esimerkkien avulla. Positiiviesti definiittien matriisien yhteydessä esittelemme Choleskyn hajotelman ja sen algoritmin. Lopuksi tutkimme neliömuotojen sovelluksia ja havainnollistamme niitä kuvien avulla.
Lukijalta vaadimme lineaarialgebran perusteiden tuntemista. Lähdeteoksina käytämme Keith Nicholsonin kirjaa Linear Algebra with Applications ja David C. Layn kirjaa Linear Algebra and Its Applications.