Möbius-kuvaukset

Abstract

Tämän tutkielman tarkoitus on perehdyttää lukija Möbius-kuvauksiin ja niiden ominaisuuksiin. Tutkielman alussa kerrataan kompleksilukujen perusominaisuudet ja niihin liittyvät laskutoimitukset sekä kompleksitason määritelmä. Sitten laajennetaan kompleksitaso siten, että se sisältää myös äärettömän ja esitetään tämä myös graafisesti Riemannin pallona. Tämän jälkeen tarkastellaan itse Möbius-kuvauksia ja niiden perusominaisuuksia. Seuraavaksi perehdytään Möbius-kuvauksiin matriiseina, sekä kiintopisteiden ja kaksoissuhteen määritelmiin ja ominaisuuksiin. Tämän jälkeen tarkastellaan vielä symmetriaa kompleksitasossa ja Möbius-kuvausten vaikutusta symmetrisiin pisteisiin. Lopuksi tarkastellaan Möbius-kuvausten luokittelua sekä niiden graafista ilmettä Riemannin pallon kuorella. Lukijalta edellytetään matriisilaskennan ja ryhmäteorian tuntemista. Lisäksi aiempi kompleksianalyysin tuntemus on hyödyllistä. Tutkielman päälähteinä on käytetty teoksia Alan F. Beardon Algebra and Geometry, Lars V. Ahlfors Complex Analysis ja Tristan Needham Visual Complex Analysis.