On the Invertibility and Eigenvalue Properties of Some Lattice-Theoretic Matrices: Meet and Join Matrices Studied via Möbius Inversion

Abstract

Väitöskirjan päätavoitteena on tarkastella meet- ja join-tyypin matriisien erityyppisiä ominaisuuksia Möbiuksen inversion avulla. Työssä tarkastellaan kolmea erilaista meet- ja join-matriisien yleistystä ja osoitetaan, että kaikissa näissä tapauksissa Möbiuksen inversiota voidaan hyödyntää näiden matriisien determinantin, käänteismatriisin sekä joissakin tapauksessa jopa ominaisarvojen määrittämisessä. Väitöskirjassa tutkitaan myös tavanomaisten meet- ja join-matriisien positiivista definiittisyyttä Möbiuksen inversion avulla. Samassa yhteydessä löydetään rajoja tavallisten meet- ja join-matriisien ominaisarvoille käyttäen menetelmää, joka ei hyödynnä Möbiuksen inversiota.

Työn loppupuolella kiinnitetään tarkempaa huomiota join- ja PYJ-matriisien kääntyvyyteen. Käytössä oleva Möbiuksen inversioon perustuva hilateoreettinen menetelmä osoittautuu käyttökelpoiseksi jopa täysin lukuteoreettisten PYJ-matriisien sekä niiden Hadamardin potenssien kääntyvyyden tarkastelussa. Väitöskirjassa esitetään mm. uusi hilateoreettinen todistus tunnetulle tulokselle, jonka mukaan ns. Bourque-Ligh otaksuma pätee korkeintaan 7-alkioisille SYT-suljetuille joukoille, mutta ei päde yleisesti tätä suuremmille SYT-suljetuille joukoille. Lopuksi edellä mainittua hilateoreettista menetelmää kehitetään edelleen singulaaristen PYJ-matriisien sekä PYJ-potenssimatriisien tutkimiseksi. Työssä osoitetaan, että vastoin yleisiä odotuksia ns. parittomia primitiivisiä singulaarisia lukuja on olemassa. Lisäksi onnistutaan karakterisoimaan kaikki mahdolliset äärelliset puolihilastruktuurit, joita voidaan käyttää virittämään sellainen SYT-suljettu joukko, joka tuottaa singulaarisen PYJ-potenssimatriisin jollakin positiivisella reaalisella eksponentilla. Samalla päädytään kumoamaan useita Hongin esittämiä avoimeksi jääneitä otaksumia.

The main purpose of this thesis is to investigate the various properties of meet- and join-type matrices By using the Möbius inversion. We consider three distinct ways to generalize the concept of meet and join matrices and show that in each case the Möbius inversion can be used to study the determinant, inverse and sometimes even the eigenvalues of these matrices. We also turn our attention to the usual meet and join matrices and use the same method to study their positive definiteness. In the same context we give bounds for the eigenvalues of the usual meet and join matrices by making use of a particular method which does not require the use of the Möbius inversion.

Finally we conduct a more thorough investigation on the invertibility of join and LCM matrices via the Möbius inversion. We are going to see how our lattice-theoretic methods show their usefulness even when considering entirely number-theoretic LCM and power LCM matrices. We give a new lattice-theoretic proof for the well-known fact that the so-called Bourque-Ligh conjecture holds for GCD closed sets with less than 8 elements and does not hold in general for larger GCD closed sets. For the last we develop our method even further in order to study singular LCM and power LCM matrices. We show that, contrary to general expectations, so-called odd primitive singular numbers do exist. In addition, we are able to characterize all possible finite semilattice structures which can be used to generate GCD closed sets such that the power LCM matrix of this set is singular for some positive real exponent. At the same time we end up disproving several open conjectures presented by Hong.