Fermat'n suuri lause eksponentille kolme ja neliökunnat
Tölö, Kristiina (2015)
Tässä tietueessa ei ole kokotekstiä saatavilla Treposta, ainoastaan metadata.
Tölö, Kristiina
2015
Matematiikan maisteriopinnot - Master's Programme in Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
Hyväksymispäivämäärä
2015-06-09
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201507302194
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201507302194
Tiivistelmä
Matematiikassa on paljon väittämiä, joita ei ole heti pystytty todistamaan kokonaisuudessaan, vaikka niiden arveltaisiinkin pitävän paikkansa. Fermat'n suuri lause on tällainen. Fermat itse keksi sen, mutta pätevä todistus sille saatiin tehtyä yli 350 vuotta lauseen keksimisen jälkeen. Sitä ennen lausetta todistettiin osissa eli tietyille eksponenteille.
Tämän tutkielman aiheena on esittää todistus Fermat'n suurelle lauseelle tapauksessa, kun eksponentti on kolme. Todistamisessa käytetään neliökunnan kokonaislukujen renkaan aritmeettisia ominaisuuksia. Aluksi määritellään neliökunnat ja esitellään niiden tärkeimpiä ominaisuuksia, joita ovat muun muassa jälki ja normi. Seuraavaksi käsitellään neliökuntien kokonaisluvut. Ensin määritetään, mitä ominaisuuksia halutaan kokonaisluvuilla olevan, jonka jälkeen etsitään sopiva lukujoukko, joka täyttää annetut ominaisuusehdot. Tämän jälkeen käsitellään neliökuntien moduli, sen kerroinrengas ja renkaan yksiköt sekä näiden kolmen tärkeimmät ominaisuudet. Ennen varsinaista todistusta käydään vielä läpi tekijöiden jakamista neliökunnissa.
Tämän työn päättävässä luvussa esitetään tutkielman aiheena ollut todistus. Fermat'n suurta lausetta eksponentille kolme ei todisteta ihan suoraan, vaan sen todistamisessa käytetään yleisempää lausetta tietyssä neliökunnan kokonaislukujen renkaassa. Sen lisäksi tarvitaan myös muutama apulause. Yleisen yhtälön todistaminen tietyssä kokonaislukujen renkaassa etenee kahdessa osassa. Toisen osan todistamiseen tarvitaan vielä yleisempää tulosta. Näiden avulla saadaan todistettua alkuperäinen väittämä, eli Fermat'n suuri lause pätee, kun eksponentti on kolme.
Tässä työssä esitellään neliökuntien perusominaisuuksia, mutta työn seuraaminen edellyttää kuitenkin lukijalta lukuteorian ja algebran perusteiden tuntemista. Lukijan tulee esimerkiksi tuntea kongruenssin käsite.
Tämän tutkielman aiheena on esittää todistus Fermat'n suurelle lauseelle tapauksessa, kun eksponentti on kolme. Todistamisessa käytetään neliökunnan kokonaislukujen renkaan aritmeettisia ominaisuuksia. Aluksi määritellään neliökunnat ja esitellään niiden tärkeimpiä ominaisuuksia, joita ovat muun muassa jälki ja normi. Seuraavaksi käsitellään neliökuntien kokonaisluvut. Ensin määritetään, mitä ominaisuuksia halutaan kokonaisluvuilla olevan, jonka jälkeen etsitään sopiva lukujoukko, joka täyttää annetut ominaisuusehdot. Tämän jälkeen käsitellään neliökuntien moduli, sen kerroinrengas ja renkaan yksiköt sekä näiden kolmen tärkeimmät ominaisuudet. Ennen varsinaista todistusta käydään vielä läpi tekijöiden jakamista neliökunnissa.
Tämän työn päättävässä luvussa esitetään tutkielman aiheena ollut todistus. Fermat'n suurta lausetta eksponentille kolme ei todisteta ihan suoraan, vaan sen todistamisessa käytetään yleisempää lausetta tietyssä neliökunnan kokonaislukujen renkaassa. Sen lisäksi tarvitaan myös muutama apulause. Yleisen yhtälön todistaminen tietyssä kokonaislukujen renkaassa etenee kahdessa osassa. Toisen osan todistamiseen tarvitaan vielä yleisempää tulosta. Näiden avulla saadaan todistettua alkuperäinen väittämä, eli Fermat'n suuri lause pätee, kun eksponentti on kolme.
Tässä työssä esitellään neliökuntien perusominaisuuksia, mutta työn seuraaminen edellyttää kuitenkin lukijalta lukuteorian ja algebran perusteiden tuntemista. Lukijan tulee esimerkiksi tuntea kongruenssin käsite.