Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee numeerisen integroinnin kahta integrointimenetelmää, Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmiä. Graafisesti integrointi tarkoittaa tietyn käyrän ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan määrittämistä integrointivälin päätepisteiden välissä, kun käyrää vastaava funktio on positiivinen.

Newton-Cotesin integrointimenetelmä on yleisin numeerisista integrointimenetelmistä. Menetelmä perustuu siihen, että hankalasti integroitava funktio korvataan approksimoidulla funktiolla, joka on helppo integroida. Kun tarkastellaan integrointivälin tasavälistä jakoa ja käytetään Lagrangen interpolaatiokaavaa, approksimoidulle polynomille saadaan johdettua summalauseke painoineen ja pisteineen. Eri painot vastaavat Newton-Cotesin kaavoja. Yleensä Newton-Cotesin kaavoja ei sovelleta koko integrointivälille, vaan yksitellen osaväleillä, joihin integrointiväli on jaettu. Kun integraalia arvioidaan osavälien approksimaatioiden summalla, saadaan yhdistettyjä sääntöjä.

Gaussin integrointimenetelmässä integraali on esitetty painofunktion ja funktion tulona. Integrointiväliä ei kuitenkaan jaeta tasaisiin väleihin, sillä päästään parempiin tuloksiin, jos pisteet valitaan tarkan integroitumisen kannalta optimaalisella tavalla. Ennen Gaussin integrointisääntöjen muotoilua käydään läpi keskeisiä tuloksia painofunktioista, ortogonaalisista polynomeista ja tridiagonaalimatriiseista. Painofunktio ja skalaaritulo määritellään, ja käydään läpi ortogonaalisiin polynomeihin liittyviä lauseita, jotka karakterisoivat painoja ja pisteitä. Lopuksi tarkastellaan Gaussin integrointikaavoja etukäteen kiinnitetyillä luvuilla ja painoilla. Näin saadaan säännöt Radaun ja Lobatton integroinnille.

Tärkeimmät viitekirjat työssä ovat J. Stoerin ja R. Bulirschin Introduction to Numerical Analysis ja P. J. Davisin ja P. Rabinowitzin Methods of Numerical Integration.