Täydelliset totienttiluvut

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään täydellisiä totienttilukuja. Täydellinen totienttiluku on kokonaisluku, joka yhtä suuri siitä iteroitujen Eulerin phi-funktioiden arvojen summan kanssa. Tutkielmassa esitellään erilaisia täydellisiä totienttilukujaja näytetään, miten ne ovat löydettävissä.

Tutkielman aluksi määritellään Eulerin phi-funktio ja useita siihen liittyviä tuloksia. Lisäksi käydään läpi Eulerin phi-funktioon liittyvä Eulerin lause, joka on Fermat’n pienen lauseen yleistys. Määritellään myös muutamia muita tutkielman kannalta hyödyllisiä käsitteitä.

Ennen täydellisiin totienttilukuihin siirtymistä tarkastellaan Eulerin phi-funktion iterointia. Esitellään phi-funktion iteroinnista nouseva funktio ja käsitellän monia sen ominaisuuksia. Osoitetaan myös, että tälle funktiolle on löydettävissä ylä- ja alaraja.

Tämän jälkeen määritellään täydelliset totienttiluvut ja esitetään niistä muutamia esimerkkejä. Osoitetaan mm., että alkulukupotensseista ainostaan luvun kolme potenssit ovat täydellisiä totienttilukuja. Lisäksi käydään läpi useita lauseita, joiden avulla voidaan löytää täydellisiä totienttilukuja. Tutkielman lopuksi määritellään vielä supertäydelliset totienttiluvut ja näytetään, että ne ovat täydellisesti karakteroitavissa yhden lauseen avulla.