Smithin normaalimuoto

Abstract

Tutkielmassa käsitellään aluksi euklidisia alueita, joista esimerkkejä ovat kuntakertoiminen polynomirengas ja Gaussin kokonaisluvut. Euklidisten alueiden merkittävä ominaisuus on se, että niiden jokainen ideaali on pääideaali. Näiden erityisten kokonaisalueiden jälkeen esitellään erilaisia matriisien samankaltaisuuteen viittaavia käsitteitä, joita ovat similaarisuus, R-ekvivalenttius, permutaatioekvivalenttius sekä Gaussin ekvivalenttius. Jälkimmäisen määrittelemiseksi tutustutaan kuitenkin ensin alkeisrivi- ja -sarakeoperaatioihin, jotka voi esittää sopivina matriisikertolaskuina. Smithin normaalimuodoksi kutsuttu tutkielman päätulos antaa euklidisten alueiden suhteen määritellyille nollamatriisista eroaville matriiseille mielenkiintoisen Gaussin ekvivalentin muodon. Lisäksi todistetaan, että R-ekvivalenttius ja Gaussin ekvivalenttius ovat yhtäpitävät ominaisuudet, mikäli R on euklidinen alue.

Alkeisoperaatioiden lisäksi matriisin invariantit tekijät eli käytännössä Smithin normaalimuoto on mahdollista selvittää tutkimalla minorien suurimpia yhteisiä tekijöitä. Tämän tuloksen seurauksena todetaan, että Smithin normaalimuoto on yksiköllä kertomista vaille yksikäsitteinen. Jos invariantit tekijät kuitenkin valitaan pääpolynomeiksi, Smithin normaalimuoto on täysin yksikäsitteinen. Kuntakertoimisista polynomeista koostuvat neliömatriisit xI-A ja xI-B todistetaan F[x]-ekvivalenteiksi, jos ja vain jos niiden Smithin normaalimuodot ovat samat. Alkeisjakajia käsitellään lyhyesti esimerkkien avulla. Viimeisessä luvussa tarkastellaan Smithin normaalimuodon alkuperäistä tarkoitusta lineaaristen Diofantoksen yhtälöryhmien ratkaisemisessa. Toisena sovelluksena tutkitaan kahden matriisin permutaatioekvivalenttiutta. Tutkielman pääteoksena käytetään Joseph J. Rotmanin teosta Advanced Modern Algebra.