z-muunnos ja differenssiyhtälöt

Abstract

Tämä on tutkielma z-muunnoksesta, jota voidaan käyttää diskreettejä systeemejä kuvaavien differenssiyhtälöiden ratkaisemisessa. Muunnoksen avulla voidaan differenssiyhtälö muuttaa algebralliseen muotoon, jonka ratkaisusta käänteisellä muunnoksella saadaan differenssiyhtälön ratkaisu.

Tutkielmassa lähdetään liikkeelle kompleksianalyysin perustuloksista ja päädytään residylaskentaan, joka tarjoaa käänteistä muunnosta varten tärkeän apuvälineen. Näiden jälkeen esitetään z-muunnoksen määritelmä sekä useita differenssilaskennan kannalta tärkeitä lauseita. Lopuksi sovelletaan z-muunnosta differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen. Ratkaisumenetelmiä kuvattaessa tuodaan esille yhtymäkohtia perinteiseen differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Lukijalta vaaditaan kompleksianalyysin ja differenssilaskennan perusteiden hallintaa. Kompleksianalyysin osalta lähdeteoksena on käytetty J.H. Mathewsin ja H.W. Russellin kirjaa Complex Analysis for Mathematics and Engineering, jota käytetään myös z-muunnosta ja sen soveltamista koskevissa osissa. W.G. Kelleyn ja A.C. Petersonin kirja Difference Equations: An Introduction with Applications sekä R. Vichin kirja Z Transform Theory and Applications ovat merkittävät lähdeteokset z-muunnoksen ja differenssiyhtälöiden tarkastelussa.