Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot
Koskinen, Samuli (2014)
2014
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2014-12-02
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201412192499
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201412192499
Tiivistelmä
Tutkielman aiheena on differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot. Tutkielmassa tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmiä, niin lineaarisia kuin epälineaarisiakin. Myös matriisieksponenttien teoriaa esitellään ja käytetään yhtälöryhmien tarkastelemiseksi. Teoriaa ja tuloksia pyritään havainnollistamaan monipuolisten esimerkkien avulla.
Alussa perehdytään muutamaan tarkasteluiden kannalta oleelliseen matriisiteorian tulokseen. Tämän jälkeen käsitellään lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät ja matriiseksponenttifunktiot. Lopuksi esitellään epälineaarisia differentiaaliyhtälöryhmiä ja erilaisia sovelluksia.
Lineaaristen differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemiseen on olemassa monenlaisia menetelmiä. Menetelmien valinta rippuu, onko kyseessä homogeeninen vai epähomogeeninen yhtälöryhmä. Homogeenisten differentiaaliyhtälöryhmien tapauksessa ryhmän kerroinmatriisin ominaisarvot tarjoavat keinon ratkaisuiden etsimiseen yhdessä eksponenttifunktioiden kanssa. Epähomogeenisten differentiaaliyhtälöryhmien tapauksessa ratkaisuiden löytäminen on hankalampaa.
Ratkaisuiden löytämisen apuna differentiaaliyhtälöryhmille on usein eksponenttifunktio ja tässä tapauksessa matriisieksponenttifunktio. Matriisieksponenttifunktio tarjoaa kaavan differentiaaliyhtälöryhmien yksikäsitteiselle ratkaisulle nimenomaan lineaarisissa tapauksissa. Ratkaisu on olemassa riippumatta siitä, onko kyseessä homogeeninen tai epähomogeeninen ryhmä. Matriisieksponenttiratkaisuiden ongelmana on matriisieksponenttifunktion arvojen laskeminen, joka tietyissä tilanteissa on varsin hankalaa. Ratkaisuiden etsimiseen tulee käyttää niin sanottua Putzerin menetelmää.
Epälineaaristen differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemisessa on tapana käyttää numeerisia menetelmiä. Kuitenkin ratkaisuita ja tasapainoja voidaan analysoida ilman varsinaisten ratkaisuiden etsimistä. Tämä tapahtuu tarkastelemalla differentiaaliyhtälöryhmän kriittisiä pisteitä ja linearisointeja niiden läheisyydessä. Sovelluksissa kriittiset pisteet ja ratkaisuiden käyttäytyminen niiden läheisyydessä on suuressa roolissa. Linearisointi tarjoaa mahdollisuuden tutkia ratkaisuiden käyttäytymistä, sillä lineaaristen ryhmien ratkaisuun on helpompia keinoja.
Alussa perehdytään muutamaan tarkasteluiden kannalta oleelliseen matriisiteorian tulokseen. Tämän jälkeen käsitellään lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät ja matriiseksponenttifunktiot. Lopuksi esitellään epälineaarisia differentiaaliyhtälöryhmiä ja erilaisia sovelluksia.
Lineaaristen differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemiseen on olemassa monenlaisia menetelmiä. Menetelmien valinta rippuu, onko kyseessä homogeeninen vai epähomogeeninen yhtälöryhmä. Homogeenisten differentiaaliyhtälöryhmien tapauksessa ryhmän kerroinmatriisin ominaisarvot tarjoavat keinon ratkaisuiden etsimiseen yhdessä eksponenttifunktioiden kanssa. Epähomogeenisten differentiaaliyhtälöryhmien tapauksessa ratkaisuiden löytäminen on hankalampaa.
Ratkaisuiden löytämisen apuna differentiaaliyhtälöryhmille on usein eksponenttifunktio ja tässä tapauksessa matriisieksponenttifunktio. Matriisieksponenttifunktio tarjoaa kaavan differentiaaliyhtälöryhmien yksikäsitteiselle ratkaisulle nimenomaan lineaarisissa tapauksissa. Ratkaisu on olemassa riippumatta siitä, onko kyseessä homogeeninen tai epähomogeeninen ryhmä. Matriisieksponenttiratkaisuiden ongelmana on matriisieksponenttifunktion arvojen laskeminen, joka tietyissä tilanteissa on varsin hankalaa. Ratkaisuiden etsimiseen tulee käyttää niin sanottua Putzerin menetelmää.
Epälineaaristen differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemisessa on tapana käyttää numeerisia menetelmiä. Kuitenkin ratkaisuita ja tasapainoja voidaan analysoida ilman varsinaisten ratkaisuiden etsimistä. Tämä tapahtuu tarkastelemalla differentiaaliyhtälöryhmän kriittisiä pisteitä ja linearisointeja niiden läheisyydessä. Sovelluksissa kriittiset pisteet ja ratkaisuiden käyttäytyminen niiden läheisyydessä on suuressa roolissa. Linearisointi tarjoaa mahdollisuuden tutkia ratkaisuiden käyttäytymistä, sillä lineaaristen ryhmien ratkaisuun on helpompia keinoja.