Keskiarvoja ja epäyhtälöitä

Abstract

Tässä kirjoituksessa tutkimme epäyhtälöitä, erityisesti eräiden keskiarvojen välillä. Monet niistä voidaan todistaa tai konstruoida muutamien yleisten epäyhtälöiden avulla. Tällaisia ovat mm. Jensenin, Karamatan, Muirheadin, Cauchyn-Bunjakovskin-Schwarzin ja Hölderin epäyhtälöt. Tehokas mutta ei kovin laajalti tunnettu menetelmä on Schur-konveksisuus. Se perustuu majoroinniksi kutsuttuun n-ulotteisen avaruuden vektorien väliseen relaatioon. Karamatan ja Muirheadin epäyhtälöt perustuvat samaan relaatioon. Esitämme välttämättömän ja riittävän ehdon sille, että derivoituva, symmetrinen usean muuttujan funktio on Schur-konveksi sekä riittävän ehdon sille, että tällainen funktio on aidosti Schur-konveksi. Todistamme mainitut yleiset epäyhtälöt yhtäsuuruusehtoineen ja sovellamme niitä sekä Schur-konveksisuutta lähteistä löytyneisiin tehtäviin. Konstruoimme myös muutamia mahdollisesti uusia epäyhtälöitä. Käsittelemme eräitä teoriakokonaisuuksia lähteistä poikkeavalla tavalla. Esimerkiksi johdamme Nesbittin epäyhtälön usealle muuttujalle Tshebyshevin epäyhtälön seurauksena. Käsittelemme myös eräitä Youngin epäyhtälöön liittyviä ajankohtaisia tutkimustuloksia.