Laskennallisista inversio-ongelmista - erityisesti tilastollinen lähestymistapa ja sen soveltaminen ilmakehän kaukokartoituksessa
Railo, Jesse (2014)
2014
Matematiikka/tilastotiede - Mathematics/Statistics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2014-06-04
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201407091974
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201407091974
Tiivistelmä
Tutkielmassa tutustutaan laskennallisten inversio-ongelmien teoriaan kirjallisuuden ja tieteellisten artikkelien perusteella. Laskennallisessa inversio-ongelmassa suora malli kuvaa tuntemattoman tilan ja epäsuorasti mitatun suureen välisen yhteyden. Inversio-ongelmassa taas ratkaistaan suoran mallin määrittämä yhtälö käänteiseen suuntaan, kun olemme saaneet yhtälöstä äärellisen määrän kohinallisia mittauksia. Ratkaisuun liittyvää epävarmuutta voidaan arvioida luonnollisella tavalla käyttäen todennäköisyysteoriaa, jolloin kaikki muuttujat esitetään Lebesguen mitan suhteen absoluuttisesti jatkuvina satunnaismuuttujina. Tällöin määrittelemme inversio-ongelman ratkaisuksi tuntemattoman muuttujan posteriorijakauman määrittämisen. Tutkielmassa keskitytään erityisesti inversio-ongelman tilastolliseen ratkaisemiseen, kun suora malli tunnetaan.
Tutkielman puhtaan matematiikan aiheet johdattelevat lukijan funktionaalianalyysiin sekä mitta- ja todennäköisyysteorioihin, mitkä luovat teoreettisen viitekehyksen inversio-ongelmien esittämiseen. Käytännön sovelluksissa rajoittuminen reaalianalyysiin ja matriisilaskentaan on kuitenkin usein riittävää. Yhtenä keskeisenä esimerkkinä käsittelemmekin lineaarisia inversio-ongelmia euklidisessa avaruudessa.
Epälineaaristen inversio-ongelmien ratkaisumenetelminä esittelemme differentiaalilaskentaan perustuvan Levenbergin-Marquardtin algoritmin (LMA) ja Markovin ketju Monte Carlo (MCMC) -menetelmiä, kuten Metropolisin-Hastingsin (MH) ja adaptiivisen Metropolisin (AM) algoritmit. Näytämme tutkielmassa lisäksi, miten dimension redusointimenetelmiä, kuten pääkomponenttianalyysia (PCA), voidaan soveltaa inversio-ongelman ratkaisemisessa.
Tutkielmassa esitellään kasvihuonekaasujen kaukokartoitusta laskennallisten inversio-ongelmien sovelluksena. Sovellukseen liittyviä simulaatioita ja kehitystyötä voidaan pitää tieteellisesti uutena tutkimuksena. Tutkielmaan liittyvä soveltava osuus on tehty Ilmatieteen laitoksella, Uudet havaintomentelmät -yksikön Ilmakehän kaukokartoitus -ryhmässä, vuosina 2013–2014.
Tutkielman puhtaan matematiikan aiheet johdattelevat lukijan funktionaalianalyysiin sekä mitta- ja todennäköisyysteorioihin, mitkä luovat teoreettisen viitekehyksen inversio-ongelmien esittämiseen. Käytännön sovelluksissa rajoittuminen reaalianalyysiin ja matriisilaskentaan on kuitenkin usein riittävää. Yhtenä keskeisenä esimerkkinä käsittelemmekin lineaarisia inversio-ongelmia euklidisessa avaruudessa.
Epälineaaristen inversio-ongelmien ratkaisumenetelminä esittelemme differentiaalilaskentaan perustuvan Levenbergin-Marquardtin algoritmin (LMA) ja Markovin ketju Monte Carlo (MCMC) -menetelmiä, kuten Metropolisin-Hastingsin (MH) ja adaptiivisen Metropolisin (AM) algoritmit. Näytämme tutkielmassa lisäksi, miten dimension redusointimenetelmiä, kuten pääkomponenttianalyysia (PCA), voidaan soveltaa inversio-ongelman ratkaisemisessa.
Tutkielmassa esitellään kasvihuonekaasujen kaukokartoitusta laskennallisten inversio-ongelmien sovelluksena. Sovellukseen liittyviä simulaatioita ja kehitystyötä voidaan pitää tieteellisesti uutena tutkimuksena. Tutkielmaan liittyvä soveltava osuus on tehty Ilmatieteen laitoksella, Uudet havaintomentelmät -yksikön Ilmakehän kaukokartoitus -ryhmässä, vuosina 2013–2014.