Projektiiviset, injektiiviset ja laakeat modulit

Abstract

Tässä tutkielmassa esitetään määritelmät projektiiviselle, injektiiviselle ja laakealle modulille. Alussa johdatetaan aiheeseen esittämällä tuloksia moduleista, tekijämoduleista, modulien suorista summista ja modulien tensorituloista. Suoriin summiin ja tensorituloihin keskitytään enemmän, koska ne ovat erityisen tärkeitä tutkielman aiheelle. Lisäksi esitetään Zornin lemma lyhyesti.

Toisessa luvussa tutkitaan eksakteja jonoja; erityisesti lohkeavia eksakteja jonoja. Lohkeaviin eksakteihin jonoihin liittyen esitetään tärkeä yhteys modulien suoraan summaan. Eksaktien jonojen ominaisuuksia havainnollistetaan esimerkein ja Lausein.

Kolmannen luvun kaksi ensimmäistä lukua toimivat sellaisenaan itsenäisenä asiana. Kategorioita tarvitaan, jotta voidaan määritellä eksaktit funktorit, jotka ovat tärkeitä projektiivisiin, injektiivisiin ja laakeisiin moduleihin liittyen. Kategoria on mielenkiintoinen ja hyödyllinen tapa esittää matemaattisia luokkia ja niiden välisiä suhteita. Koska kategoria on hyvin abstrakti ja vaikeasti sisäistettävä asia, annetaan lukijalle paljon esimerkkejä havainnollistamaan asian sisältöä. Funktoreista esitetään tutkielmalle oleelliset homfunktorit ja tensorifunktorit. Osoitetaan, että hom-funktorit ovat vasemmalta eksakteja ja tensorifunktorit oikealta eksakteja. Myöskin erityistapauksia eksakteista funktoreista esitetään.

Viimeisessä luvussa päästään itse tutkielman aiheeseen eli projektiivisiin, injektiivisiin ja laakeisiin moduleihin. Oleellista luvussa on projektiivisten ja injektiivisten modulien yhteys lohkeaviin eksakteihin jonoihin ja hom-funktoreihin. Laakeat modulit määritellään tensorifunktorin eksaktiuden avulla. Osoitetaan, että vapaat modulit ovat projektiivisia ja edelleen projektiiviset laakeita. Injektiiviset modulit ovat aina divisiibelejä ja tietyin ehdoin myös divisiibelit modulit ovat injektiivisiä. Tärkeimpiä tuloksia ovat Baerin kriteeri, upotuslause, projektiivinen kanta ja surjektiivisen homomorfismin olemassaolo projektiivisen modulin ja mielivaltaisen modulin välillä. Erilaisista moduleista annetaan konkreettisia esimerkkejä.