Pääideaalialueen yli määriteltyjen äärellisviritteisten modulien rakennelause

Abstract

Tässä pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan pääideaalialueen yli määriteltyjen äärellisviritteisten modulien rakennetta. Yksinkertaistettuna rakennelause kertoo, että pääideaalialueen yli määritelty äärellisviritteinen moduli voidaan esittää yksikäsitteisen hajotelman avulla samaan tapaan kuin kokonaisluku voidaan esittää sen jaottomien tekijöiden tulona.

Tutkielman alussa esitellään rakennelauseen käsittelemisessä tarvittavia abstraktin algebran peruskäsitteitä, kuten esimerkiksi alkuideaali, maksimaalinen ideaali, pääideaalialue ja äärellisviritteisen vapaan modulin aste. Rakennelauseen tarkastelu aloitetaan esittelemällä käsite torsio sekä siihen liittyviä ominaisuuksia. Pääideaalialueen yli määritellyn äärellisviritteisen vapaan modulin rakenteeseen päästään käsiksi toteamalla jokaisen äärellisviritteisen vapaan modulin alimodulin olevan myöskin äärellisviritteinen ja vapaa, ja osoittamalla, että tämän modulin kannan avulla voidaan muodostaa sen alimodulin kanta, ja että tämän kannan alkioilla on tietty ominaisuus. Tiedetään, että itse modulin ja samaa astetta olevan vapaan modulin välillä on olemassa homomorfinen kuvaus, joten modulien isomorfialauseen ja edellä mainittujen kantojen ominaisuuksien avulla päästään osoittamaan, että alkuperäinen moduli on isomorfinen vapaan modulin ja torsiomodulin suoran summan kanssa. Lisäksi todetaan, että tämä esitysmuoto on pääideaalialueen yksiköitä vaille yksikäsitteinen. Rakennelauseen yhteydessä tutustutaan myöskin invariantteihin tekijöihin ja alkeisjakajiin.

Tutkielmassa tarkastellaan myös euklidisen alueen yli määritellyn matriisin Smithin normaalimuotoa, jonka avulla matriisin invariantit tekijät voidaan löytää. Lisäksi tarkastellaan kuinka matriisien similaarisuutta voidaan tutkia Smithin normaalimuodon avulla.

Tutkielman päälähdeteoksina toimivat J. J. Rotmanin teos Advanced Modern Algebra sekä D. S. Dummitin ja R. M. Footen teos Abstract Algebra.