Arithmetic Incidence Functions : A Study of Factorability

Abstract

In terminology of number theory, an arithmetic incidence function can be characterized as a function that possesses all the defining properties of both an incidence function and an arithmetic function of two variables. Under this characterization, a complex valued function f of two variables defined on the set of positive integers is an arithmetic incidence function if f(x,y) = 0 whenever the element x does not preceed the element y, where the order is determined by the standard ordering of positive integers.

Any suborder of the standard ordering of the positive integers determines a subclass of arithmetic incidence functions specific to that suborder. This thesis concentrates on the subclass which is determined by the divisibility ordering of positive integers. The primary objective is to present arithmetic incidence functions as a natural generalization of arithmetic functions of one variable, and to generalize the associated notions of multiplicativity and complete multiplicativity together with some basic results into the context of arithmetic incidence functions. The secondary objective is to present connections and differences between the theory of incidence functions as generalized arithmetic functions and the classical theory of arithmetic functions.

Two types of convolutions, namely the D-convolution and the C-convolution of arithmetic incidence functions, are introduced as generalizations of the Dirichlet convolution and the unitary convolution of arithmetic functions, respectively. Also the related Möbius functions are presented.

The main theme is the factorability of arithmetic incidence functions, where the scope of the term covers a set of related properties. The translation invariance and the complete translation invariance, although not to be regarded as actual concepts of factorability as such, have an important role as elements of factorability and complete factorability. The concepts of semifactorability and complete semifactorability are presented as generalizations of multiplicativity and complete multiplicativity of an arithmetic function. These two concepts are also elements of factorability and complete factorability, which for their part are presented as alternative generalizations of multiplicativity and complete multiplicativity. In addition, the dual concepts for the aforementioned factorability concepts are introduced.

Tiivistelmä

Aritmeettista insidenssifunktiota voidaan lukuteorian termejä käyttämällä luonnehtia funktioksi, jolla on kaikki sekä insidenssifunktiota että kahden muuttujan aritmeettista funktiota määrittelevät ominaisuudet. Tämän luonnehdinnan perusteella positiivisten kokonaislukujen joukossa määritelty kahden muuttujan kompleksiarvoinen funktio f on aritmeettinen insidenssifunktio, jos f(x,y) = 0 aina, kun alkio x ei edellä alkiota y, missä järjestyksen määrittää positiivisten kokonaislukujen tavallinen järjestys.

Jokainen positiivisten kokonaislukujen tavallisen järjestyksen alijärjestys määrittää sitä vastaavan aritmeettisten insidenssifunktioiden aliluokan. Tässä tutkielmassa keskitytään siihen aliluokkaan, jonka määrittää positiivisten kokonaislukujen jaollisuusjärjestys. Ensisijaisena tehtävänä on esittää aritmeettiset insidenssifunktiot yhden muuttujan aritmeettisten funktioiden yleistyksenä, ja yleistää näihin liittyvät multiplikatiivisuuden ja täydellisen multiplikatiivisuuden käsitteet sekä joitakin perustuloksia aritmeettisten insidenssifunktioiden kontekstiin. Toissijaisena tehtävänä on esittää yhteyksiä ja eroja insidenssifunktioita aritmeettisten funktioiden yleistyksenä käsittelevän teorian ja klassisen aritmeettisten funktioiden teorian välillä.

Kaksi konvoluutiota, eli aritmeettisten insidenssifunktioiden D-konvoluutio ja C-konvoluutio, esitellään aritmeettisten funktioiden Dirichlet’n konvoluution ja unitaarikonvoluution yleistyksinä, vastaavassa järjestyksessä. Myös niihin liittyvät Möbiuksen funktiot esitellään.

Pääteemana on aritmeettisten insidenssifunktioiden faktorabiliteetti, termin pitäessä sisällään joukon aiheeseen liittyviä ominaisuuksia. Translaatioinvarianssi ja täydellinen translaatioinvarianssi, jotka sinällään eivät ole varsinaisia faktorabiliteettikäsitteitä, ovat tärkeässä roolissa toimiessaan faktorabiliteetin ja täydellisen faktorabiliteetin osatekijöinä. Semifaktorabiliteetin ja täydellisen semifaktorabiliteetin käsitteet esitetään aritmeettisten funktioiden multiplikatiivisuuden ja täydellisen multiplikatiivisuuden yleistyksinä. Myös nämä kaksi käsitettä ovat osatekijöitä faktorabiliteetille ja täydelliselle faktorabiliteetille, jotka puolestaan esitetään vaihtoehtoisina multiplikatiivisuuden ja täydellisen multiplikatiivisuuden yleistyksinä. Lisäksi esitellään edellä mainittujen faktorabiliteettikäsitteiden duaalikäsitteet.