Joukot metrisissä avaruuksissa

Abstract

Tässä tutkielmassa esitetään metrisen avaruuden käsite ja tutkitaan erilaisten joukkojen ominaisuuksia metrisissä avaruuksissa. Metriset avaruudet ovat joukkoja, joissa voidaan mitata pisteiden välisiä etäisyyksiä. Aluksi määritellään avoin pallo, jota käytetään tutkielmassa esiintyvien muiden käsitteiden, kuten sisäpiste ja kasautumispiste, määrittelyssä. Tutkielma painottuu suljettuihin joukkoihin metrisissä avaruuksissa. Lukijalta edellytetään joukon infimumin ja supremumin käsitteiden tuntemusta, sillä nämä ovat keskeisessä osassa rajoitettujen joukkojen havainnoillistamisessa. Lopuksi tutkitaan metrisen aliavaruuden avoimien ja suljettujen joukkojen suhdetta metrisen avaruuden avoimiin ja suljettuihin joukkoihin. Tutkielman päälähteenä käytetään Satish Shiralin ja Harkrishan L. Vasudevan teosta Metric Spaces.