Hilbertin aksioomajärjestelmä klassiselle euklidiselle geometrialle
SINISALO, HANNU (2006)
2006
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2006-05-22
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-15716
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-15716
Tiivistelmä
Tämän tutkielman tehtävänä on tarkastella David Hilbertin luomaa aksiomatisointia klassiselle euklidiselle geometrialle. Hilbertin järjestelmää noudattaen geometria voidaan määritellä täydellisesti 20 aksiooman avulla. Näiden aksioomien avulla voidaan yksikäsitteisesti määritellä peruskäsitteet piste, suora ja taso, joiden välisistä relaatioista geometriaksi kutsumamme teoria sitten voidaan rakentaa.
Tutkielmamme aluksi tarkastelemme aksiomaattisen järjestelmän perusvaatimuksia. Annamme yleiset aksiomaattisen järjestelmän kriteerit, jotka pätevät muillakin matematiikan aloilla kuin geometriassa. Tarkastelemme myös lyhyesti geometriaa Eukleideen näkökulmasta sekä käymme nopeasti läpi hieman geometrian historiaa.
Tutkielman tärkein teema on Hilbertin aksioomajärjestelmän kokoaminen viiden eri aksioomaryhmän avulla. Lisäksi todistamme aksioomien avulla joitakin geometrian perustuloksia. Erityistä mielenkiintoa osoitamme kolmioiden ominaisuuksien tarkasteluun.
Lopuksi toteamme, että Hilbertin aksioomat ovat ristiriidattomia ja riippumattomia ja siten muodostavat asettamiemme kriteerien mukaisen aksiomaattisen järjestelmän. Aksioomajärjestelmän ristiriidattomuuden osoitamme näyttämällä Descartes'n analyyttisen geometrian malliksi euklidiselle geometrialle. Riippumattomuustarkasteluissamme poistamme aksioomien joukosta joitakin aksioomia ja näytämme pystyvämme yhä rakentamaan ristiriidattoman mallin. Lisäksi sivuamme muutamia tapoja luoda malleja erilaisille epäeuklidisille geometrioille.
Tutkielmamme aluksi tarkastelemme aksiomaattisen järjestelmän perusvaatimuksia. Annamme yleiset aksiomaattisen järjestelmän kriteerit, jotka pätevät muillakin matematiikan aloilla kuin geometriassa. Tarkastelemme myös lyhyesti geometriaa Eukleideen näkökulmasta sekä käymme nopeasti läpi hieman geometrian historiaa.
Tutkielman tärkein teema on Hilbertin aksioomajärjestelmän kokoaminen viiden eri aksioomaryhmän avulla. Lisäksi todistamme aksioomien avulla joitakin geometrian perustuloksia. Erityistä mielenkiintoa osoitamme kolmioiden ominaisuuksien tarkasteluun.
Lopuksi toteamme, että Hilbertin aksioomat ovat ristiriidattomia ja riippumattomia ja siten muodostavat asettamiemme kriteerien mukaisen aksiomaattisen järjestelmän. Aksioomajärjestelmän ristiriidattomuuden osoitamme näyttämällä Descartes'n analyyttisen geometrian malliksi euklidiselle geometrialle. Riippumattomuustarkasteluissamme poistamme aksioomien joukosta joitakin aksioomia ja näytämme pystyvämme yhä rakentamaan ristiriidattoman mallin. Lisäksi sivuamme muutamia tapoja luoda malleja erilaisille epäeuklidisille geometrioille.