Laplace-muunnoksesta
MÄKELÄ, MILJA (2006)
2006
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2006-05-23
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-15698
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-15698
Tiivistelmä
Tämä on tutkielma Laplace-muunnoksesta. Laplace-muunnoksella on integraalimuunnoksena monia käytännön sovelluksia matematiikassa ja fysiikassa ja se tarjoaa erittäin käyttökelpoisen vaihtoehdon esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun. Perusidea muunnoksen takana on yksinkertainen: muunnetaan vaikea ratkaistavana oleva ongelma muunnoksen avulla helpommin ratkaistavaksi, jolloin uuden ongelman ratkaisu voidaan käänteisen muunnoksen avulla muuntaa takaisin alkuperäisen ongelman ratkaisuksi.
Tutkielmassa esitetään Laplace-muunnoksen määritelmä, sekä tärkeimmät ominaisuudet ja tulokset muunnosta koskien. Kiinnostuksen kohteena on kompleksinen muunnos, jolla on paremmat käytännön sovellusmahdollisuudet, kuin sen reaalisella vastineella. Ensimmäisessä luvussa listataan tarvittavat esitiedot ja painotus on nimenomaan välittömästi tutkielman aiheen perustan muodostavalla teorialla. Topologian ja kompleksianalyysin perusteet jätetäänkin lukijan taitojen varaan. Toinen luku aloittaa varsinaisen aiheen, eli Laplace-muunnoksen käsittelyn. Tässä luvussa esitetään muunnoksen määritelmä ja tärkeimmät ominaisuudet, sekä havainnollistetaan lukijalle muunnoksen olemusta esimerkkien avulla. Kolmas luku omistetaan käänteiselle Laplace-muunnokselle ja luvun kuluessa lukijalle esitetään monia eri tapoja käänteismuunnoksen löytämiseksi. Suuren osan luvusta muodostaa käänteisen muunnoskaavan johtaminen, jossa tarvittava Fourier'n integraali johdetaan myös. Viimeinen luku käsittelee muunnoksen sovelluksia ja sitoo yhteen aiemmissa kappaleissa esitetyn teorian havainnollistamalla esimerkkien avulla muunnoksen käyttöä ja merkitystä matematiikassa. Päälähteenä tutkielmassa on käytetty H.A. Priestleyn kirjaa Introduction to Complex Analysis ja käänteismuunnoskaavan todistus noudattelee M.G. Smithin kirjaa Laplace Transform Theory.
Asiasanat: kompleksianalyysi, Laplace-muunnos
Tutkielmassa esitetään Laplace-muunnoksen määritelmä, sekä tärkeimmät ominaisuudet ja tulokset muunnosta koskien. Kiinnostuksen kohteena on kompleksinen muunnos, jolla on paremmat käytännön sovellusmahdollisuudet, kuin sen reaalisella vastineella. Ensimmäisessä luvussa listataan tarvittavat esitiedot ja painotus on nimenomaan välittömästi tutkielman aiheen perustan muodostavalla teorialla. Topologian ja kompleksianalyysin perusteet jätetäänkin lukijan taitojen varaan. Toinen luku aloittaa varsinaisen aiheen, eli Laplace-muunnoksen käsittelyn. Tässä luvussa esitetään muunnoksen määritelmä ja tärkeimmät ominaisuudet, sekä havainnollistetaan lukijalle muunnoksen olemusta esimerkkien avulla. Kolmas luku omistetaan käänteiselle Laplace-muunnokselle ja luvun kuluessa lukijalle esitetään monia eri tapoja käänteismuunnoksen löytämiseksi. Suuren osan luvusta muodostaa käänteisen muunnoskaavan johtaminen, jossa tarvittava Fourier'n integraali johdetaan myös. Viimeinen luku käsittelee muunnoksen sovelluksia ja sitoo yhteen aiemmissa kappaleissa esitetyn teorian havainnollistamalla esimerkkien avulla muunnoksen käyttöä ja merkitystä matematiikassa. Päälähteenä tutkielmassa on käytetty H.A. Priestleyn kirjaa Introduction to Complex Analysis ja käänteismuunnoskaavan todistus noudattelee M.G. Smithin kirjaa Laplace Transform Theory.
Asiasanat: kompleksianalyysi, Laplace-muunnos