Antiominaisarvot ja -vektorit tilastotieteessä
MÄNTYSALO, ERNO (2005)
2005
Tilastotiede - Statistics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2005-12-01
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-15199
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-15199
Tiivistelmä
Hakutermit:
antiominaisarvo, antiominaisvektori, yleistetty antiominaisarvo, OLSE:n tehokkuus, kollineaarisuus, kanoninen korrelaatio
Tässä tutkielmassa tarkastellaan reaalisen symmetrisen ja ei-negatiivisesti definiitin matriisin antiominaisarvojen ja antiominaisvektoreiden sovellutuksia tilastotieteessä. Tutkielman alussa esitellään ne ominaisarvoja koskevat tulokset, joita antiominaisarvoja ja -vektoreita tarkasteltaessa tarvitaan. Tutkielmassa johdetaan yhtälöt antiominaisarvoille ja -vektoreille ja tarkastellaan niiden geometrista merkitystä. Lisäksi johdetaan antiominaisarvon tulkinta OLSE:n ja BLUE:n välisenä Watsonin tehokkuuden alarajana kun mallimatriisi on vektori. Esimerkkinä tarkastellaan tapauksia joissa jäännöstermillä on AR(1)-, MA(1) ja tasakorrelaatiorakenne.
Tutkielmassa tarkastellaan pienimmän antiominaisarvon tulkintaa maksimaalisena kulmana kahden vektorin välillä, ja esitellään sovellutus, jossa pienin antiominaisarvo tulkitaan pienimmäksi mahdolliseksi korrelaatiokertoimeksi kahden havaintovektorin välillä, kun kovarianssirakenne tunnetaan. Lisäksi tutkielmassa esitellään kanoniset korrelaatiot, joitakin niiden ominaisuuksia ja johdetaan kanoniset korrelaatiot antiominaisarvojen funktiona. Tutkielmaan on myös kerätty kirjallisuudesta joitakin erilaisia esitysmuotoja antiominaisarvolle, sekä yhteyksiä joihinkin muihin epäyhtälöihin.
Antiominaisarvojen lisäksi tutkielmassa määritellään yleistetty antiominaisarvo ja sitä vastaava antiominaismatriisi. Yleistetylle antiominaisarvolle ja antiominaismatriisille johdetaan yhtälöt ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden funktiona. Osoitetaan, että Watsonin tehokkuuden alaraja voidaan esittää pienimmän yleistetyn antiominaisarvon funktiona. Tutkielmassa tarkastellaan lyhyesti kuntoisuusluvun 'condition number' ja antiominaisarvon välistä suhdetta matriisin kuntoisuuden arvioinnissa. Lopuksi tutkielmassa johdetaan myös uskottavuussuhdetesti kovarianssirakenteen testaamiseen ja osoitetaan, että uskottavuussuhdetestin testisuure on yleistetyn antiominaisarvon neliö.
antiominaisarvo, antiominaisvektori, yleistetty antiominaisarvo, OLSE:n tehokkuus, kollineaarisuus, kanoninen korrelaatio
Tässä tutkielmassa tarkastellaan reaalisen symmetrisen ja ei-negatiivisesti definiitin matriisin antiominaisarvojen ja antiominaisvektoreiden sovellutuksia tilastotieteessä. Tutkielman alussa esitellään ne ominaisarvoja koskevat tulokset, joita antiominaisarvoja ja -vektoreita tarkasteltaessa tarvitaan. Tutkielmassa johdetaan yhtälöt antiominaisarvoille ja -vektoreille ja tarkastellaan niiden geometrista merkitystä. Lisäksi johdetaan antiominaisarvon tulkinta OLSE:n ja BLUE:n välisenä Watsonin tehokkuuden alarajana kun mallimatriisi on vektori. Esimerkkinä tarkastellaan tapauksia joissa jäännöstermillä on AR(1)-, MA(1) ja tasakorrelaatiorakenne.
Tutkielmassa tarkastellaan pienimmän antiominaisarvon tulkintaa maksimaalisena kulmana kahden vektorin välillä, ja esitellään sovellutus, jossa pienin antiominaisarvo tulkitaan pienimmäksi mahdolliseksi korrelaatiokertoimeksi kahden havaintovektorin välillä, kun kovarianssirakenne tunnetaan. Lisäksi tutkielmassa esitellään kanoniset korrelaatiot, joitakin niiden ominaisuuksia ja johdetaan kanoniset korrelaatiot antiominaisarvojen funktiona. Tutkielmaan on myös kerätty kirjallisuudesta joitakin erilaisia esitysmuotoja antiominaisarvolle, sekä yhteyksiä joihinkin muihin epäyhtälöihin.
Antiominaisarvojen lisäksi tutkielmassa määritellään yleistetty antiominaisarvo ja sitä vastaava antiominaismatriisi. Yleistetylle antiominaisarvolle ja antiominaismatriisille johdetaan yhtälöt ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden funktiona. Osoitetaan, että Watsonin tehokkuuden alaraja voidaan esittää pienimmän yleistetyn antiominaisarvon funktiona. Tutkielmassa tarkastellaan lyhyesti kuntoisuusluvun 'condition number' ja antiominaisarvon välistä suhdetta matriisin kuntoisuuden arvioinnissa. Lopuksi tutkielmassa johdetaan myös uskottavuussuhdetesti kovarianssirakenteen testaamiseen ja osoitetaan, että uskottavuussuhdetestin testisuure on yleistetyn antiominaisarvon neliö.