Laplace-muunnoksesta.
METSÄ, HANNA (2004)
Tässä tietueessa ei ole kokotekstiä saatavilla Treposta, ainoastaan metadata.
2004
Matematiikka - Mathematics
Hyväksymispäivämäärä
2004-11-17Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tutustutaan Laplace-muunnokseen ja sen muutamaan sovellusalueeseen. Laplace-muunnos on matemaattinen toimenpide, jolla voidaan ratkaista eri prosessien kuvaamiseen ja säätämisen suorittamiseen tarvittavia monimutkaisia differentiaaliyhtälöitä. Aikatasosta siirrytään s-tasoon Laplace-muuntamalla differentiaaliyhtälöt. Tällöin yhtälöitä voidaan käsitellä algebraalisin keinoin ja ratkaista haluttu suure muuttujan s funktiona. Tämän ominaisuuden vuoksi Laplace-muunnos on tärkeässä asemassa signaalinkäsittelyssä Fourier- ja z-muunnosten ohella. Laplace-muunnoksella on sovelluksia myös todennäköisyyslaskennassa, esimerkiksi jatkuvien jakaumien yhteydessä.
Tutkielman alussa tutustutaan Laplace-muunnoksen määritelmään, eksponentiaaliseen kertalukuun, olemassaoloon, käänteismuunnokseen, lineaarisuuteen ja osamurtoon, sekä tutkitaan muunnoksen derivaattaa, integraalia, derivaatan muunnosta ja raja-arvoja. Erikoisfunktioista esitellään muun muassa skaalausteoria, porrasfunktio, konvoluutio, gamma- ja Diracin deltafunktio. Lopuksi tutustutaan Laplace-muunnoksen sovellusalueisiin, kuten differentiaaliyhtälöiden ja RCL-piirin ratkaisemiseen, sekä esitellään lisäksi kaksi käytännön esimerkkiä.
Tutkielman alussa tutustutaan Laplace-muunnoksen määritelmään, eksponentiaaliseen kertalukuun, olemassaoloon, käänteismuunnokseen, lineaarisuuteen ja osamurtoon, sekä tutkitaan muunnoksen derivaattaa, integraalia, derivaatan muunnosta ja raja-arvoja. Erikoisfunktioista esitellään muun muassa skaalausteoria, porrasfunktio, konvoluutio, gamma- ja Diracin deltafunktio. Lopuksi tutustutaan Laplace-muunnoksen sovellusalueisiin, kuten differentiaaliyhtälöiden ja RCL-piirin ratkaisemiseen, sekä esitellään lisäksi kaksi käytännön esimerkkiä.