Mitasta ja mitallisuudesta.
VILHONEN, KATI (2003)
Tässä tietueessa ei ole kokotekstiä saatavilla Treposta, ainoastaan metadata.
VILHONEN, KATI
2003
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
Hyväksymispäivämäärä
2003-11-07Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa perehdytään mittateorian perusteisiin. Erityisesti kiinnostksen kohteena on ollut joukkojen ja funktioiden mitallisuus ja ei-mitallisuus sekä mitan merkitys integroinnissa. Mittateorian ehkä oleellisimpaan sovellutukseen eli integrointiin tutustutaan tutkielman loppuosassa kuitenkin vain hyvin lyhyesti ja pääpaino onkin mitan, ulkomitan, mitallisuuden ja mitallisista funktioista koostuvan jonon ominaisuuksissa. Tutkielman tärkeimpänä lähteenä on käytetty A. Friedmanin teosta Foundations of Modern Analysis. Käytetyt esimerkit sekä niden todistukset on muodostettu itse. Apuna esimerkkien keksimisessä on käytetty lähdeteosten harjoitustehtäviä. Lukijalta odotetaan perustietoja joukoista, funktioista ja jonoista. Tutkielman alussa esitellään käytetyt merkinnät ja tarvittavat aiheeseen liittyvät perustiedot eli esimerkiksi renkaan ja algebran määritelmät. Tutkielman toisessa luvussa esitellään mitta ja ulkomitta. Keskeisimmät esitellyistä mittaan liittyvistä ominaisuuksista ovat ulkomitan konstruointi joukkofunktion ja joukoittain peittävän luokan avulla sekä mitan muodostaminen ulkomitasta rajaamalla. Myös tärkeä mitallisuuden määritelmä joukoille esitellään toisessa luvussa. Joukkojen mitallisuuteen keskitytään tutkielman kolmannessa luvussa. Ei-mitallisiin joukkoihin tutustutaan yksinkertaisten esimerkkien avulla ja samassa luvussa esitellään myös Lebesguen ja Lebesgue-Stieltjesin mitat sekä kahdella eri tavalla muodostettu lukusuoran osajoukko, joka ei ole Lebesgue-mitallinen. Funktioiden mitallisuutta käsitellään neljännessä luvussa, jossa esitellään esimerkiksi joukon karakteristinen funktio, jonka kautta joukon ja funktion mitallisuus liittyvät kiinteästi toisiinsa. Viimeisessä luvussa käsitellään lyhyesti integroituvuutta ja tututstutaan yksinkertaisen esimerkin avulla funktioihin, jotka ovat mitallisia, mutta eivät kuitenkaan integroituvia.