Taylorin lause.

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään Taylorin polynomeihin, Taylorin lauseeseen ja Taylorin sarjoihin. Tutkimus on toteutettu puhtaana kirjallisuus tutkimuksena. Tutkielmassa seurataan pääosin teosta Salas and Hille’s Calculus, jonka on kirjoittanut Garret J. Etgen ja teosta Introduction to real analysis, jonka ovat kirjoittaneet Robert G. Bartle ja Donald R. Sherbert.

Funktiota voidaan approksimoida polynomin ja jäännöstermin yhdistelmänä. Taylorin polynomin avulla approksimoidaan funktion arvoa pisteessä x=0 tai pisteessä x=a. Approksimoitaessa funktiota Taylorin polynomilla pisteessä x=0 (x=a), funktion tulee olla jatkuva ja n kertaa derivoituva pisteessä 0 (a).

Käsitellään funktiota, joka on n+1 kertaa derivoituva ja derivaatat ovat jatkuvia avoimella välillä I, joka sisältää pisteen 0. Tällöin jokaisessa pisteessä x, joka kuuluu välille I, voimme määrittää Taylorin lauseen kyseiselle funktiolle. Taylorin lause muodostuu Taylorin polynomista ja jäännöstermistä. Joseph Lagrange kehitti jäännöstermin Rn+1(x), jonka suuruutta arvioidaan Taylorin lauseen tapauksessa. Taylorin lause todistetaan tässä tutkielmassa sekä osittaisintegroimalla että Rollen lauseen avulla. Voimme määrittää Taylorin lauseen ja Lgrangen jäännöstermin funktiolle myös pisteessä x=a.

Jos funktio on n kertaa derivoituva välillä I, joka sisältää pisteen 0, niin voimme kirjoittaa Taylorin polynomin pisteessä x=0 sigma-notaationa. Jos jäännöstermin Rn+1(x) arvo lähestyy nollaa suurilla n:n arvoilla, niin voimme muodostaa kyseisestä Taylorin polynomista äärettömän sarjan, joka tunnetaan nimellä Taylorin sarja. Taylorin sarjaa pisteessä x=0 kutsutaan usein myös Maclaurin sarjaksi. Voimme määrittää myös Taylorin polynomista pisteessä x=a Taylorin sarjan pisteessä x=a.