Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus.
KARI, SANNA (2002)
2002
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2002-05-20
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-10705
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-10705
Tiivistelmä
Modaalilogiikassa tutkitaan välttämättömyyksiä ja mahdollisuuksia mahdollisissa maailmoissa, kun taas predikaattilogiikka keskittyy tarkastelemaan kvanttoreiden avulla erilaisten kaavojen totuuksia malleissa. Tämän työn tarkoitus on esittää näiden kahden logiikan yhteyttä. Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuutta tutkitaan tässä työssä muun muassa erilaisten esimerkkitapausten avulla.
Modaalilogiikan kaavan sanotaan vastaavan predikaattilogiikan kaavaa, jos tietyssä mallissa validille modaalilogiikan kaavalle löydetään yhtäpitävä predikaattilogiikan kaava. Tämänkaltaista ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan kaavaa ei kuitenkaan aina ole mahdollista löytää, joten myöskään kaavojen vastaavuus ei ole aina voimassa. Tässä työssä annetaankin esimerkki, jossa modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen välillä ei löydetä yhteyttä.
Tämän työn lopussa esitettävä uniformisuuslauseen avulla on mahdollista sanoa joissakin tapauksissa suoraan vastaako jokin predikaattilogiikan kaava modaalilogiikan kaavaa. Uniformisuuslauseen mukaan vastaavuus on olemassa mikäli modaalilogiikan kaava on uniforminen eli modaalilogiikan kaavan kaikki propositiosymbolit ovat uniformisia. Tämä puolestaan tarkoittaa tilannetta, jossa kaavan propositiosymboleiden esiintymät ovat joko positiivisia tai negatiivisia eli tapausta, jossa propositiosymboleihin vaikuttavia negaatioita on joko parillinen tai pariton määrä.
Ennen uniformisuuslausetta tässä työssä luodaan katsaus siihen kuinka predikaattilogiikka ja modaalilogiikka määritellään. Keskeisessä osassa tässä työssä on myös relaation määritelmä sekä kaavojen monotonisuutta koskevat määritelmät.
Modaalilogiikan kaavan sanotaan vastaavan predikaattilogiikan kaavaa, jos tietyssä mallissa validille modaalilogiikan kaavalle löydetään yhtäpitävä predikaattilogiikan kaava. Tämänkaltaista ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan kaavaa ei kuitenkaan aina ole mahdollista löytää, joten myöskään kaavojen vastaavuus ei ole aina voimassa. Tässä työssä annetaankin esimerkki, jossa modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen välillä ei löydetä yhteyttä.
Tämän työn lopussa esitettävä uniformisuuslauseen avulla on mahdollista sanoa joissakin tapauksissa suoraan vastaako jokin predikaattilogiikan kaava modaalilogiikan kaavaa. Uniformisuuslauseen mukaan vastaavuus on olemassa mikäli modaalilogiikan kaava on uniforminen eli modaalilogiikan kaavan kaikki propositiosymbolit ovat uniformisia. Tämä puolestaan tarkoittaa tilannetta, jossa kaavan propositiosymboleiden esiintymät ovat joko positiivisia tai negatiivisia eli tapausta, jossa propositiosymboleihin vaikuttavia negaatioita on joko parillinen tai pariton määrä.
Ennen uniformisuuslausetta tässä työssä luodaan katsaus siihen kuinka predikaattilogiikka ja modaalilogiikka määritellään. Keskeisessä osassa tässä työssä on myös relaation määritelmä sekä kaavojen monotonisuutta koskevat määritelmät.