Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät.
PALO, LAURA (2001)
Tässä tietueessa ei ole kokotekstiä saatavilla Treposta, ainoastaan metadata.
PALO, LAURA
2001
Matematiikka - Mathematics
Taloudellis-hallinnollinen tiedekunta - Faculty of Economics and Administration
Hyväksymispäivämäärä
2001-04-20Tiivistelmä
Tutkielmassa tutustutaan ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemiseen. Lukijan oletetaan tuntevan hyvin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät. Lisäksi lukijan pitäisi tuntea Lineaarialgebrasta vektori ja matriisilaskentaa sekä lineaarisen riippumattomuuden käsite.
Jotta yleensä on mielekästä tutkia aihetta, on syytä heti aluksi todeta, että ensimmäisen kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöryhmällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu. Mikä tahansa differentiaaliyhtälöryhmän x’ =P(t)x ratkaisujen joukko, jossa n kappaletta lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, muodostaa ratkaisujen perusjoukon. Tiettyjen ehtojen nojalla ratkaisujen perusjoukko on aina olemassa ja jokainen yhtälöryhmän x’ =P(t)x ratkaisu voidaan esittää perusjoukossa esiintyvien ratkaisujen lineaarikombinaationa.
Lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälöryhmä voidaan ratkaista ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden avulla. Ratkaiseminen on yksinkertaisempaa, jos differentiaaliyhtälöryhmästä muodostettu kerroinmatriisi on Hermiten matriisi. Kuitenkin myös tapaukset, joissa kerroinmatriisi ei ole Hermiten matriisi, voidaan ratkaista. Tällöin on kyseessä tapaukset, joissa ominaisarvot ovat kompleksisia tai toistuvia. Myös käsitteistä perusmatriisi ja matriisi exp(At) on hyötyä differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisussa.
Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmiä ovat diagonalisointi, määräämättömien kertoimien menetelmä ja vakion variointi. Kaikissa ratkaisumenetelmissä on sekä hyvät että huonot puolensa. Määräämättömien kertoimien menetelmässä ei tarvitse integ-roida, mutta se on puitteiltaan rajoitettu ja se tuo mukanaan ratkaistavaksi useat algebralliset yhtälöryhmät. Diagonalisoinnissa pitää löytää muunnosmatriisin käänteismatriisi ja ensim-mäisen kertaluvun lineaaristen yhdistelemättömien yhtälöiden ratkaisu matriisien kertolaskun takia. Menetelmän etuna on se, että jos kerroinmatriisi on Hermiten matriisi, ei muunnosmatriisin käänteismatriisin ratkaisemiseksi tarvita laskutoimituksia piirre, joka on tärkeä suurien yhtälöryhmien ratkaisussa. Vakion variointi on yleisin menetelmä. Toisaalta siinä täytyy ratkaista joukko lineaarialgebran yhtälöitä, joiden kertoimet ovat muuttujia, johtuen integroin-nista ja matriisien kertolaskusta, joten vakion variointi on kenties laskutoimituksiltaan moni-mutkaisin. Pienten differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisuissa voi olla vaikeaa löytää jostain me-netelmästä suuria etuja toiseen menetelmään verrattuna.
Tutkielmassa seurataan William E. Boycen ja Richard C. DiPriman teoksen Elementary Dif-ferential Equations and Boundary Value Problems lukua 7 Systems of First Order Linear Equations. Muina lähdeteoksina on käytetty Otto Plaatin kirjan Ordinary Differential Equ-ations lukua 5, R. D. Driverin kirjan Ordinary and Delay Differential Equations lukuja II, IV ja VI sekä M. Braunin kirjan Differential Equations and Their Applications lukua 3.
Jotta yleensä on mielekästä tutkia aihetta, on syytä heti aluksi todeta, että ensimmäisen kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöryhmällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu. Mikä tahansa differentiaaliyhtälöryhmän x’ =P(t)x ratkaisujen joukko, jossa n kappaletta lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, muodostaa ratkaisujen perusjoukon. Tiettyjen ehtojen nojalla ratkaisujen perusjoukko on aina olemassa ja jokainen yhtälöryhmän x’ =P(t)x ratkaisu voidaan esittää perusjoukossa esiintyvien ratkaisujen lineaarikombinaationa.
Lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälöryhmä voidaan ratkaista ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden avulla. Ratkaiseminen on yksinkertaisempaa, jos differentiaaliyhtälöryhmästä muodostettu kerroinmatriisi on Hermiten matriisi. Kuitenkin myös tapaukset, joissa kerroinmatriisi ei ole Hermiten matriisi, voidaan ratkaista. Tällöin on kyseessä tapaukset, joissa ominaisarvot ovat kompleksisia tai toistuvia. Myös käsitteistä perusmatriisi ja matriisi exp(At) on hyötyä differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisussa.
Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmiä ovat diagonalisointi, määräämättömien kertoimien menetelmä ja vakion variointi. Kaikissa ratkaisumenetelmissä on sekä hyvät että huonot puolensa. Määräämättömien kertoimien menetelmässä ei tarvitse integ-roida, mutta se on puitteiltaan rajoitettu ja se tuo mukanaan ratkaistavaksi useat algebralliset yhtälöryhmät. Diagonalisoinnissa pitää löytää muunnosmatriisin käänteismatriisi ja ensim-mäisen kertaluvun lineaaristen yhdistelemättömien yhtälöiden ratkaisu matriisien kertolaskun takia. Menetelmän etuna on se, että jos kerroinmatriisi on Hermiten matriisi, ei muunnosmatriisin käänteismatriisin ratkaisemiseksi tarvita laskutoimituksia piirre, joka on tärkeä suurien yhtälöryhmien ratkaisussa. Vakion variointi on yleisin menetelmä. Toisaalta siinä täytyy ratkaista joukko lineaarialgebran yhtälöitä, joiden kertoimet ovat muuttujia, johtuen integroin-nista ja matriisien kertolaskusta, joten vakion variointi on kenties laskutoimituksiltaan moni-mutkaisin. Pienten differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisuissa voi olla vaikeaa löytää jostain me-netelmästä suuria etuja toiseen menetelmään verrattuna.
Tutkielmassa seurataan William E. Boycen ja Richard C. DiPriman teoksen Elementary Dif-ferential Equations and Boundary Value Problems lukua 7 Systems of First Order Linear Equations. Muina lähdeteoksina on käytetty Otto Plaatin kirjan Ordinary Differential Equ-ations lukua 5, R. D. Driverin kirjan Ordinary and Delay Differential Equations lukuja II, IV ja VI sekä M. Braunin kirjan Differential Equations and Their Applications lukua 3.