Katsaus ketjumurtolukuihin.
HELENIUS, VILLE (2000)
2000
Matematiikka - Mathematics
Taloudellis-hallinnollinen tiedekunta - Faculty of Economics and Administration
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2000-04-27
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-8308
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-8308
Sisällysluettelo
Johdanto.........................................................1 Luku 1 Peruskäsitteitä 1.1 Määritelmiä ja merkintöjä...................................3 1.2 Konvergentit................................................5 1.3 Neliökunnista..............................................10 Luku 2 Reaalilukujen esittämisestä ketjumurtolukuina 2.1 Rationaaliluvut............................................13 2.2 Irrationaaliluvut..........................................16 2.3 Logaritmien laskemisesta...................................20 Luku 3 Jaksolliset ketjumurtoluvut 3.1 Kvadraattiset irrationaaliluvut............................22 3.2 Luvun N neliöjuuren ketjumurtolukukehitelmä................26 Luku 4 Irrationaalilukujen rationaaliluku approksimoinnista 4.1 Approksimointi konvergenteilla.............................30 Luku 5 Pellin yhtälö 5.1 Perusratkaisu..............................................39 5.2 Muut ratkaisut.............................................41 Kirjallisuus....................................................45
Tiivistelmä
Tutkielma käsittelee ketjumurtolukujen teoriaa. Lähinnä keskitytään yksinkertaisten ketjumurtolukujen ominaisuuksiin ja lukuteoreettisiin sovelluksiin. Tutkielman lukijan oletetaan tuntevan lukuteorian ja analyysin peruskäsitteet ja -tulokset.
Tutkielman sisältö noudattaa seuraavien lähdekirjojen sisältöä:
Khinchin, A. Ya.: Continued fractions.
LeVeque, William J.: Elementary theory of numbers.
Nagell, Trygve: Introduction to number theory.
Olds, C. D.:Continued fractions.
Shanks, Daniel: Solved and unsolved problems in number theory.
Tutkielmassa käsitellään ketjumurtolukujen konvergentit ja niiden käyttö ketjumurtolukujen teoriassa. Tutkielmassa huomataan rationaalilukujen ja päättyvien yksinkertaisten ketjumurtolukujen yhtäpitävyys. Samoin huomataan irrationaalilukujen ja päättymättömien yksinkertaisten ketjumurtolukujen yhtäpitävyys. Edelleen tutkielmassa käsitellään kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen yhtäpitävyys. Tutkielmassa tutkitaan myös irrationaalilukujen rationaalilukuapproksimointia, jolloin ilmenee, että ketjumurtolukujen konvergentit antavat tietyssä mielessä parhaan approksimaation. Lopuksi tutkielmassa tutkitaan vielä ketjumurtolukujen teorian kuuluisinta sovellusta eli Pellin yhtälön ratkaisemista. Kaiken kaikkiaan ketjumurtoluvuilla on keskeinen sija lukuteoreettisissa käsittelyissä.
Asiasanat: ketjumurtoluku
Tutkielman sisältö noudattaa seuraavien lähdekirjojen sisältöä:
Khinchin, A. Ya.: Continued fractions.
LeVeque, William J.: Elementary theory of numbers.
Nagell, Trygve: Introduction to number theory.
Olds, C. D.:Continued fractions.
Shanks, Daniel: Solved and unsolved problems in number theory.
Tutkielmassa käsitellään ketjumurtolukujen konvergentit ja niiden käyttö ketjumurtolukujen teoriassa. Tutkielmassa huomataan rationaalilukujen ja päättyvien yksinkertaisten ketjumurtolukujen yhtäpitävyys. Samoin huomataan irrationaalilukujen ja päättymättömien yksinkertaisten ketjumurtolukujen yhtäpitävyys. Edelleen tutkielmassa käsitellään kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen yhtäpitävyys. Tutkielmassa tutkitaan myös irrationaalilukujen rationaalilukuapproksimointia, jolloin ilmenee, että ketjumurtolukujen konvergentit antavat tietyssä mielessä parhaan approksimaation. Lopuksi tutkielmassa tutkitaan vielä ketjumurtolukujen teorian kuuluisinta sovellusta eli Pellin yhtälön ratkaisemista. Kaiken kaikkiaan ketjumurtoluvuilla on keskeinen sija lukuteoreettisissa käsittelyissä.
Asiasanat: ketjumurtoluku