Analysing the Discretisation Bias; A Monte Carlo Study.

Abstract

Tätä tutkimusta voidaan osuvasti kutsua simulointitutkimukseksi, jossa tutkitaan simulointiperustaista estimointimenetelmää. Koska simulointi näyttelee pääosaa tässä tutkimuksessa, on luonnollista lähteä liikkeelle aivan simuloinnin perustekijöistä eli satunnaisluvuista. Nämä perustekijät nykyään helposti unohdetaan, kun tietokoneet hoitavat ”automaattisesti” satunnaislukujen generoinnin; itse asiassa tietokoneiden generoimat luvut eivät tarkasti ottaen ole satunnaislukuja, vaan niiden tuottamiseen käytetään jotain determinististä menetelmää. Tässä tutkimuksessa esitellään tällaisten pseudosatunnaislukujen tuottamisen ja testaamisen teoriaa ja käytäntöä.

Tämä Monte Carlo -tutkimus on jatkoa kansantaloustieteen pro gradu -tutkielmalleni, jossa simulointiperustainen epäsuoran estimoinnin menetelmä esiteltiin ja sovellettiin käytäntöön ensimmäisenä Suomessa. Epäsuora estimointi on erityisen hyvä menetelmä jatkuvan ajan mallien estimoinissa, koska sen on osoitettu vähentävän diskreettisyysharhaa, joka aiheutuu siitä, että yleisessä tapauksessa parametrit joudutaan estimoimaan käyttäen diskreettiä approksimaatiota jatkuvan ajan prosessista. Tämän tutkielman tarkoitus oli tutkia simuloimalla sitä, miten hyvin epäsuora estimointi toimii käytännössä ja miten epäsuoran estimoinnin osatekijät, kuten simuloitujen polkujen lukumäärä ja simuloinnissa käytetyn diskretisointiaskeleen pituus vaikuttaa epäsuoran estimaattorin harhaan.

Tutkimuksessa käytettiin esimerkkinä yleisesti tunnettua geometristä Brownin liikettä, jota käytetään mallintamaan esimerkiksi korkojen dynamiikkaa. Jokaisella Monte Carlo -kierroksella laskettiin epäsuoran estimaatin lisäksi vertailun vuoksi suurimman uskottavuuden estimaatit diskreetistä approksimaatiosta sekä tarkasta diskretisaatiosta, jota ei ole kuitenkaan voida johtaa kaikille jatkuvan ajan prosesseille.

Tutkimuksessa havaittiin, että epäsuorassa estimoinnissa jo pienellä diskretisointiaskeleen lyhentämisellä päästään huomattavasti pienempään harhaan kuin diskreettiin approksimaatioon sovelletulla suurimman uskottavuuden mentelmällä. Epäsuoralla estimoinnilla päästiin jopa pienempään harhaan kuin tarkkaan diskretisaation sovelletulla suurimman uskottavuuden menetelmällä. Vaikka teoriassa diskretisointiaskeleen lähentyessä nollaa myös harhan pitäisi lähestyä nollaa, tutkimuksessa havaittiin että diskretisointiaskeleen huomattavasta pienentämisestä aiheutuva harhan pieneneminen oli kuitenkin niin vähäistä, että käytännön sovelluksissa diskretisointiaskeleksi kannattaa valita esimerkiksi 0.1 tai 0.01; ääriesimerkkinä voidaan mainita että diskretisointiaskeleen huomattavasta pienentämisestä aiheutunut n. 20000 %:n kasvu laskuajassa (3 minuutista 10 tuntiin) itse asiassa suurensi harhaa n. 23 %:lla.