Laplace-muunnoksesta ja sen soveltamisesta differentiaali-yhtälöiden ratkaisemiseen

Abstract

Tutkielmassa tarkastellaan Laplace-muunnosta ja sen soveltamista differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Pierre Simon de Laplace (1749-1827) oli ranskalainen matemaatikko ja astronomi, jonka mukaan on nimetty Laplace-muunnos integraali- ja differentiaalilaskennassa. Yksi tärkeimmistä Laplace-muunnoksen käyttöalueista on lineaaristen, erikoisesti vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen. Olennainen etu saavutetaan mm. siitä, että Laplace-muunnosta käyttäen otetaan jo ratkaisun yhteydessä huomioon alkuehdot, hakematta ollenkaan yleistä ratkaisua.

Tutkielmassa esitetään aluksi Laplace-muunnoksen määritelmä ja tarkastellaan Laplace-muunnoksen olemassaoloa sekä sen ominaisuuksia. Sen jälkeen käsitellään askelfunktioiden, siirrettyjen funktioiden ja jaksollisten funktioiden Laplace-muunnoksia, käänteismuunnosta ja konvoluutiota. Laplace-muunnoksen sovelluskohteista tarkastellaan sen käyttöä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Laplace-muunnoksen avulla ratkaistaan lineaarisia vakiokertoimisia differentiaaliyhtälöitä ja lineaarisia differentiaaliyhtälöryhmiä. Tutkielman päälähteenä on Shepley L. Rossin teos Introduction to Ordinary Differential Equations.