Resolventtimenetelmästä
MÄNTYSALO, JORI (2013)
2013
Matematiikka - Mathematics
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2013-08-19
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-24053
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-24053
Tiivistelmä
Resolventtimenetelmä on eräs tapa määritellä polynomin Galois'n ryhmä.
Jokaista ryhmää G kohti voidaan muodostaa resolventti, joka kertoo onko Galois'n ryhmä G tai sen aliryhmä. Oikea ryhmä määritetään yhdistämällä useamman resolventin tulokset.
Resolventti on polynomi, josta tutkitaan rationaalijuurien olemassaoloa. Resolventin kertoimet voidaan esittää tutkittavan polynomin kertoimien avulla. Kokonaislukukertoimisen polynomin tapauksessa resolventin kertoimet ovat kokonaislukuja, jolloin ne voidaan myös laskea numeerisesti tutkittavan polynomin juurista ja pyöristää kokonaislukuun.
Resolventin ydin on osasymmetrinen monen muuttujan resolventtipolynomi. Esimerkiksi f(a, b, c, d)=ab+cd on tällainen: jotkin permutoinnit, kuten muuttujien a ja bvaihto, eivät muuta sen arvoa. Tämä resolventtipolynomi vastaa 8-alkioista ryhmää D4, ja vastaavasti polynomin f neljää muuttujaa voi permutoida 8 tavalla säilyttäen polynomi samana.
Tutkielmassa resolventtimenetelmän käyttö selostetaan rationaalikertoimisille polynomeille. Konkreettisena esimerkkinä laaditaan tarvittavat resolventit viidennen asteen polynomin Galois'n ryhmän selvittämiseen ja sovelletaan niitä.
Asiasanat:Galois'n ryhmä, resolventti
Jokaista ryhmää G kohti voidaan muodostaa resolventti, joka kertoo onko Galois'n ryhmä G tai sen aliryhmä. Oikea ryhmä määritetään yhdistämällä useamman resolventin tulokset.
Resolventti on polynomi, josta tutkitaan rationaalijuurien olemassaoloa. Resolventin kertoimet voidaan esittää tutkittavan polynomin kertoimien avulla. Kokonaislukukertoimisen polynomin tapauksessa resolventin kertoimet ovat kokonaislukuja, jolloin ne voidaan myös laskea numeerisesti tutkittavan polynomin juurista ja pyöristää kokonaislukuun.
Resolventin ydin on osasymmetrinen monen muuttujan resolventtipolynomi. Esimerkiksi f(a, b, c, d)=ab+cd on tällainen: jotkin permutoinnit, kuten muuttujien a ja bvaihto, eivät muuta sen arvoa. Tämä resolventtipolynomi vastaa 8-alkioista ryhmää D4, ja vastaavasti polynomin f neljää muuttujaa voi permutoida 8 tavalla säilyttäen polynomi samana.
Tutkielmassa resolventtimenetelmän käyttö selostetaan rationaalikertoimisille polynomeille. Konkreettisena esimerkkinä laaditaan tarvittavat resolventit viidennen asteen polynomin Galois'n ryhmän selvittämiseen ja sovelletaan niitä.
Asiasanat:Galois'n ryhmä, resolventti