Täydellistymät ja Henselin lemma

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee modulien ja renkaiden täydellistymiä. Tutustutaan aluksi tarpeellisiin käsitteisiin, kuten suodatukseen. Todistetaan Artin-Reesin lemma ja sen seuraus, Krullin leikkauslause. Esitellään topologiset ryhmät, renkaat ja modulit, ja osoitetaan että suodatus määrittää niille yksikäsitteisen topologian. Määritellään täydellistymä universaaliominaisuuden kautta, ja osoitetaan että jokaista suodatusta kohden on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen täydellistymä. Tarkastellaan täydellistymien tärkeimpiä ominaisuuksia, ja lopuksi todistetaan Henselin lemma. Päälähdeteoksena on käytetty David Eisenbudin kirjaa Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry.