Suppenemistestejä sarjoille
ALAJOKI, KAROLIINA (2013)
2013
Matematiikka/tilastotiede - Mathematics/Statistics
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2013-05-06
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-23964
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-23964
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään reaalitermisiä lukujonoja ja reaalitermisiä sarjoja. Aluksi esitetään lukujonon määritelmä sekä lukujonon perusominaisuuksia. Käydään läpi Cauchyn lukujonot ja osoitetaan, että lukujono on suppeneva, jos ja vain jos se on Cauchyn lukujono. Osoitetaan myös monotonisen lukujonon suppenemiselle välttämätön ehto. Lukujonon termien yhteenlaskua kutsutaan sarjaksi. Tämän tutkielman pääpaino on juuri sarjoissa.
Tutkielmassa esitellään sarja määritelmineen ja tiettyine ominaisuuksineen. Käsitellään sarjan suppeneminen ja hajaantuminen sekä sarjan itseinen suppeneminen. Todistetaan, että itseisesti suppeneva sarja on suppeneva. Tutkielmassa esitellään useita suppenemistestejä sarjoille. Joihinkin suppenemistesteihin tarvitaan sarjoja, joiden suppenemisominaisuudet ovat tunnettuja. Tämän vuoksi käsitellään teleskooppiset sarjat, geometrinen sarja ja p-sarjat. Tässä tutkielmassa käsitellään vertailutesti ja sen raja-arvomuoto, osamäärätesti, juuritesti, Kummerin testi, Raaben testi, Gaussin testi ja Dirichlet’n testi. Lähdekirjallisuutena on pääasiassa käytetty Tom Apostolin teosta Mathematical Analysis, Watson Fulksin teosta Advanced Calculus ja Walter Rudinin teosta Principles of Mathematical Analysis.
Tutkielmassa esitellään sarja määritelmineen ja tiettyine ominaisuuksineen. Käsitellään sarjan suppeneminen ja hajaantuminen sekä sarjan itseinen suppeneminen. Todistetaan, että itseisesti suppeneva sarja on suppeneva. Tutkielmassa esitellään useita suppenemistestejä sarjoille. Joihinkin suppenemistesteihin tarvitaan sarjoja, joiden suppenemisominaisuudet ovat tunnettuja. Tämän vuoksi käsitellään teleskooppiset sarjat, geometrinen sarja ja p-sarjat. Tässä tutkielmassa käsitellään vertailutesti ja sen raja-arvomuoto, osamäärätesti, juuritesti, Kummerin testi, Raaben testi, Gaussin testi ja Dirichlet’n testi. Lähdekirjallisuutena on pääasiassa käytetty Tom Apostolin teosta Mathematical Analysis, Watson Fulksin teosta Advanced Calculus ja Walter Rudinin teosta Principles of Mathematical Analysis.