Universaalialgebraa

Abstract

Universaalialgebralla tarkoitetaan matematiikan osa-aluetta, jonka tutkimuskohteina ovat yleistetyt algebralliset rakenteet. Tämän tutkielman tavoitteena on perehtyä universaalialgebran peruskäsitteisiin ja esittää joitakin keskeisiä tuloksia huipentuen Birkhoffin lauseeseen. Tutkielman aluksi perehdytään siihen, kuinka algebra ja laskuoperaatiot määritellään. Yleisesti tunnettujen algebrojen laskuoperaatioilta vaadittuja sääntöjä käydään läpi, ja tarkastellaan algebrojen isomorfisuuden määrittelyä sekä alialgebran ja aliuniversumin käsitteitä. Ekvivalenssiluokkien joukossa voidaan ottaa käyttöön algebrallisia struktuureita tietyillä ehdoilla ja muodostaa tekijäalgebroja. Algebroille määritellään myös yleinen suora tulo ja esitellään suoriin tuloihin liittyviä homomorfismeja. Tutkielmassa edetään luokkaoperaatioiden määritelmien kautta variston käsitteeseen. Luokkaoperaatioiden keskinäisistä suhteista todistetaan useita tuloksia. Muuttujajoukoista konstruoidaan termialgebroja ja niiden yhteydessä tutustutaan universaaliin kuvausominaisuuteen. Tutkielman lopussa todistetaan tuloksia identiteettien säilymiselle algebrojen luokkien välillä. Lisäksi tarkastellaan vapaita algebroja, ja lopuksi todistetaan Birkhoffin lause, joka osoittaa yhteyden varistojen ja identiteettien määrittelemien luokkien välillä.

Asiasanat:Birkhoffin lause, varisto, luokkaoperaatio, laskutoimitus